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Los coeficientes de la expansión de la $(x+a)^2$ hace un cuadrado perfecto?!

No tengo idea de cómo este pensamiento me vino a mi mente, pero me di cuenta de que los coeficientes de $(x+1)^2$, cuando se expande, se hace un cuadrado perfecto. No, no estoy hablando acerca de la adición de ellos (a pesar de que también funciona). Déjame mostrarte lo que quiero decir $$(x+1)^2=1x^2+2x+1$$ Los coeficientes son $1$, $2$, y $1$. Literalmente, la combinación de ellos en un gran número hace $121$, que es un cuadrado perfecto. Esto funciona para cualquiera de los términos $(x+a)^2$, siempre que $a\in \mathbb N, \ a \le 9$. Por ejemplo, $(x+3)^2=x^2+6x+9$, donde los coeficientes son $1$, $6$, $9$. Cuando el puré de reunir en un mismo número, se hace $169$,$13^2$. Me parece muy interesante, y me preguntaba si hay una razón detrás de por qué sucede esto. Por favor alguien puede explicar esto a mí? Gracias

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tletnes Puntos 1257

Esto es porque si usted establezca $x=10$, usted está consiguiendo $(10+a)^2 = 100+20a+a^2$, lo cual siempre es un cuadrado perfecto para valores enteros de a $a$.

Al $1\leq a\leq 4$ establecer $x=10$ debido a que mediante la adición de los componentes (es decir: $100+40+4=144$$a=2$), que son, literalmente, sólo la construcción de un número de sus dígitos.

Pero cuando $5 \leq a \leq 9$ necesitamos establecer $x=100$ debido a que el medio plazo $20a$ es ahora un número de 3 dígitos y otra vez, mediante la adición de los números, estamos bastante sólo sumando los dígitos.

Por ejemplo, $(100+6)^2 = 10000 + 1200 + 36 = 11236$, que es un cuadrado perfecto, por supuesto.

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