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Dos preguntas de álgebra

Tengo dos preguntas con las que necesito ayuda:

1) ¿Cuántas soluciones de números naturales pares de una sola cifra hay para la ecuación $A+B+C+D = 24$ tal que $A+B > C+D$

A)20 B)11 C)16 D)24

2) Tres números reales positivos $x,y,z$ son tales que $x+y+Z = 1$ . ¿cuál de las siguientes desigualdades describe mejor la relación entre $XY,YZ,ZX$ .

A) $xy+yz+zx > 1/3$

B) $xy+yz+zx <1/3$

C) $xy+yz+zx \le 1/3$

D) $xy+yz+zx \le 2/3$

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DiGi Puntos 1925

Para la primera pregunta, tienes por un lado que $(A+B)+(C+D)=24$ y por otro lado que $A+B>C+D$ . ¿Cuáles son las posibilidades de $A+B$ y $C+D$ ? Claramente debes tener $A+B>12$ y $C+D<12$ . Si dos números naturales de un solo dígito suman $11$ o menos, ¿cuáles son las posibilidades? (Tenga en cuenta que la respuesta dependerá de si $0$ cuenta como un número natural).

La segunda pregunta es más difícil. Sin embargo, como es de opción múltiple, puedes resolverla por eliminación. En primer lugar, si se pone $x=y=z=\frac13$ , se encuentra que $xy+yz+zx=\frac13$ asumiendo que una de las respuestas da realmente el conjunto de valores posibles, esto descarta las opciones (A) y (B), ya que ambas excluyen $\frac13$ del conjunto de valores posibles. A continuación, observe que

$$1=1^2=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\;,$$ así que

$$xy+yz+zx=\frac12\Big(1-(x^2+y^2+z^2)\Big)\;.$$

Ahora $x^2+y^2+z^2$ es ciertamente positivo, por lo que $1-(x^2+y^2+z^2)<1$ y por lo tanto

$$xy+yz+zx<\frac12\;.$$

Por lo tanto, la respuesta (D) incluye demasiado para ser el conjunto exacto de valores posibles: incluye $\frac12$ , lo que ahora sabemos que no es posible. Por lo tanto, sólo (C) puede ser el conjunto exacto de valores posibles de $xy+yz+zx$ .

De hecho, esto se puede demostrar mostrando que $x^2+y^2+z^2\ge\frac13$ cuando $x+y+z=1$ y $x,y$ y $z$ son positivos, pero no veo inmediatamente una manera de hacerlo sin usar un poco más de lo que considero álgebra de pre-cálculo.

3voto

runeh Puntos 1304

Para la desigualdad, tenga en cuenta que:

$$(x-y)^2 + (y-z)^2+(z-x)^2 = 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx) \geq 0$$

para que $$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$$

Ahora

$$1=(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx)\geq 3(xy+yz+zx)$$

Creo que eso es álgebra de pre-cálculo, y no es un truco tan conocido como debería.

1voto

XXX Puntos 106

La respuesta de Brian está bien. Si se nos permite utilizar desigualdad de cauchy-schwarz entonces $$xy+yz+zx\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}. \sqrt{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=1-2(xy+yz+zx)$$

Por lo tanto, $xy+yz+zx\le \frac{1}{3}$

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