Necesito encontrar un determinante de la matriz: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdot & \cdot & \cdot & n \\ x & 1 & 2 & 3 & \cdot & \cdot & n-1 \\ x & x & 1 & 2 & 3 & \cdot & n-2 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ x & x & \cdot & \cdot & x & 1 & 2 \\ x & x & \cdot & \cdot & \cdot & x & 1 \\ \end{pmatrix} $$ Sabemos que $x \in R$ Hasta ahora he conseguido transformarlo a la forma: $$ \begin{pmatrix} 1-x & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ 0 & 1-x & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 \\ 0 & 0 & 1-x & 1 & 1 & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot & \cdot & 0 & 1-x & 1 \\ x & x & \cdot & \cdot & \cdot & x & 1 \\ \end{pmatrix} $$ por las operaciones: (Digamos $r_i$ es la i-ésima fila) $$r_1 = r_1 - r_n,r_2 = r_2-r_n, r_3 = r_3 - r_n, ..., r_{n-1} = r_{n-1} - r_n$$ y luego $$r_1 = r_1 - r_2, r_2 = r_2 - r_3, r_3 = r_3 - r_4,...,r_{n-2} = r_{n-2} - r_{n-1}$$ Por desgracia, no tengo ni idea de cómo eliminar la última fila. ¿Alguna pista?
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Si $c_i$ es $i$ columna de su segundo determinante, haga $c_n= c_n-c_{n-1}$ , $c_{n-1}=c_{n-1}-c_{n-2}$ , ..., $c_2=c_2-c_1$ para conseguirlo: $$\left|\begin{array}{ccccccc} 1-x & x & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1-x & x & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1-x & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & x\\ x & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1-x\\ \end{array}\right|$$
Este determinante es obviamente igual $(1-x)^n+(-1)^{n+1}x^n$ (amplíalo por la primera columna).
Multiplica la última fila por $\frac{1-x}{x}$ esto significa que el determinante que quieres será el determinante de la matriz cambiada veces $-\frac{x}{x-1}$ . Ahora resta $r_1$ de $r_n$ dejando $$r_n = (0, -x, -x, -x, \cdots, -x, \frac{(x-1)^2 - x^2}{x}) $$ donde he escrito intencionadamente $$ \frac{1-x}{x} -1 = \frac{-2x+1}{x} = \frac{(x-1)^2 - x^2}{x} $$ Ahora tenemos 0 en la última fila de las columnas 1 a 1. Para cada columna restante $j$ hasta la columna $n-1$ multiplica la última fila por $\frac{x-1}{x}$ (dando otro poder de $\frac{x}{x-1}$ en el factor anterior a la matriz modificada), momento en el que se puede eliminar el $(1-x)$ en la columna $j$ de la última fila añadiendo el $j$ -ésima fila. Cuando se hace esto, el último elemento del $n$ -la fila cambia a $$ \frac{(x-1)^{j}- x^{j}}{x^{j-1} } \frac{x-1}{x} - 1 = \frac{(x-1)^{j+1}-x^{j}(x-1) -x^{j}}{x^{j}} = \frac{(x-1)^{j+1}-x^{j+1}}{x^{j}} $$ y el proceso se repite para el mext $j$ Al final, el término final en $A_{nn}$ implica $$ \frac{(x-1)^n -x^n}{x^{n-1}}$$ y se produce una gran cancelación con los factores acumulados, dejando la respuesta $$ (-1)^n \left( (x-1)^n - x^n \right)$$
