Resolver la integral

Question

¿Alguien puede resolver estos dos integrales .

$$ \int_{0}^{ \infty } \frac{x^2 e^{-x^2/2 \sigma ^2}}{(x-a)^2+b^2} dx $$

y

$$ \int_{0}^{ \infty } \frac{e^{-(\ln x - \mu )^2/2 \sigma ^2}}{(x-a)^2+b^2} dx $$

Bien darme alguna sugerencia o me diga el procedimiento, si alguien sabe como resolver este tipo de integrales exponenciales.

Gracias

Answer 1

Voy a asumir que $a$ $b$ son ambos números reales y que $b \neq 0$. A continuación, la función de $\frac{z^{2}e^{-z^{2}/\sigma^{2}}}{(z-a)^{2} + b^{2}}$ para valores complejos de $z$ es meromorphic con polos en $z = a \pm bi$.

Entonces mi idea sería intentar la integración de más de un cuarto de tarta rebanada de contorno: $\Gamma_{R} = [0,R] \cup i[0,R] \cup \{ Re^{i\theta} \, : \, \theta \in [0,\pi/2]\}$, orientada en sentido antihorario. A continuación, aplicar el Cauchy residuo de la fórmula, y si se puede demostrar que las integrales sobre el segundo y tercer componentes de $\Gamma_{R}$ ir a cero como $R \to \infty$, hemos terminado.