Me preguntaba si existen $(ck){k\in\mathbb{Z}}$ $\mathbb{C},$ % no todos $0,$así que $\lim{K \to \infty} \sum{|k| \le K} c_ke^{2\pi i kx} \to 0$ % e.a. $x \in [0,1]$. Por supuesto la respuesta es "no" siempre que $\sum_k |c_k|^2
Respuesta
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Sí, de esas series que existen. Ellos pueden ser obtenidos por dejar a $c_k = \int_0^1 e^{-2\pi i k x}d\mu(x)$ para ciertos singular medidas de $\mu$ (a veces llamado Menshov medidas). La mayoría de Cantor tipo de medidas de trabajo, para este propósito, aunque el nivel medio-tercer Cantor de medida no.
Un conjunto $E\subset [0,1]$ es un conjunto de unicidad si la única trigonométrica de la serie que converge a $0$ $[0,1]\setminus E$ es la serie de cero de los coeficientes. Su pregunta equivale a preguntar si existe un conjunto de medida cero que es no un conjunto de singularidad. La respuesta afirmativa fue dado por Menshov en 1916. El artículo de la Wikipedia sobre los conjuntos de singularidad resume la historia del sujeto, da referencias, y agrega la siguiente curiosidad:
Salem y Zygmund mostró que un Cantor conjunto con la disección relación $\xi$ es un conjunto de unicidad si y sólo si $1/\xi$ es un número de Pisot, que es un entero algebraico con la propiedad de que todos sus conjugados (si los hubiera) son más pequeñas que las $1$.
