Valor medio de las propiedades de $f(t)=(\cos t,\sin t)$

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta que me encontré en un reciente examen de papel:

Deje $f \colon [\pi,2 \pi] \to \Bbb R^2$ ser la función de $f(t)=(\cos t,\sin t)$.Entonces cual de las siguientes son necesariamente correctas? Las opciones son:

1. Existe $t_0 \in [\pi,2\pi]$ tal que $f'(t_0)=\frac{f(2 \pi)-f(\pi)}{\pi}$

2. No existe $t_0 \in [\pi,2\pi]$ tal que $f'(t_0)=\frac{f(2 \pi)-f(\pi)}{\pi}$

3. Existe $t_0 \in [\pi,2\pi]$ tal que $||f(2 \pi)-f(\pi)|| \le \pi ||f'(t_0)||$

4. $f'(t)=(-\sin t,\cos t) \,\,\forall t \in [\pi,2\pi]$.

MI INTENTO:

Claramente la opción 4 es correcta, pero no estoy seguro de cómo demostrar/refutar otras opciones. Buscando opciones 1,2,3 creo que significa teorema del valor tiene un papel que jugar. Alguien puede explicar a mí con algunos detalles.

Mi edición: Opción 3 parece ser cierto ya que $||f(2 \pi)-f(\pi)||=||(1,0)-(-1,0)||=||(2,0)||=2$ $\pi ||f'(t_0)||=\pi \,\,\text{since}\, ||f'(t)||=||(- \sin t,\cos t)||=1$ $||f(2 \pi)-f(\pi)|| \le \pi ||f'(t_0)||$ es cierto.

La opción 1 no tiene sentido después de poner los valores de $\pi, 2\pi$$f$. Así que la opción 2 parece ser la correcta. Voy en la dirección correcta? ¿Hay alguna otra manera elegante de hacer frente a este problema?

Answer 1

Sugerencias:

1) Esta es la parametrización de la mitad inferior del círculo $x^2+y^2=1$. Así, su función es

$$ y = -\sqrt{1-x^2}, \, x\in[-1,1]. $$

2) Comprobar el teorema de Rolle.

Añadido: Por $(1)$, usted puede hacer sencillos cálculos

$$ \frac{f(2\pi)-f(\pi)}{\pi}=\frac{1}{\pi}(2,0)=\left( \frac{2}{\pi},0 \right)\longrightarrow(1), $$

y

$$ f'(t)=(-\sin(t), \cos(t)) \longrightarrow (2). $$

Ahora, equiparar $(1)$ $(2)$ e intentar encontrar $t$ si es que existe.