Pregunta de Opción múltiple: sea f holomorphic en D con $ f(0) = \frac{1}{2}$ $ f(\frac{1}{2}) = 0 $ donde $ D = \{ z : |z|\leq 1 \}$.

Question

Deje $ f : D \rightarrow D $ ser holomorphic con $ f(0) = \frac{1}{2}$$ f(\frac{1}{2}) = 0 $, donde $ D = \{ z : |z|\leq 1 \} $. Por favor, sugiera cuál de las siguientes puede ser correcto ..

1. $ |f'(0)|\leq \frac{3}{4}$.

2. $ |f'(1/2) |\leq \frac{4}{3}$.

3. $ |f'(0)|\leq \frac{3}{4}$ $ |f'(1/2)|\leq \frac{4}{3}$ .

4. $ f(z)=z$, $ z\in D$

Por favor, ayudar.

Answer 1

Sugerencia: Trate de algunos de los polinomios....

Sugerencias para editar pregunta: tenga en cuenta que $f(f(0)) = 0$. Schwarz Lema puede ser útil. Considerar también las fracciones de transformaciones lineales tome $D \to D$$0 \to 1/2$$1/2 \to 0$.

Answer 2

En primer lugar usted debe recordar el siguiente resultado: Supongamos que $\displaystyle f$ es analítica en la unidad de disco ∆=$\{z:|z|<1\}$ y que cumpla las siguientes condiciones $|f(z)| \leq 1$
$f(a)=b$ algunos $a,b \in $∆ luego $|f'(a)| \leq (1-|f(a)|^2)/(1-|a|^2 )$. En nuestro problema tome $a=0$ $b=1/2$ y aplicar el resultado anterior obtendrá la primera opción en su problema. Para la segunda opción de tomar $a=1/2$$b=0$. Para el problema de las opciones (a), (b) y (c) son verdaderas

Answer 3

Schwarz Recoge Lema dice $|f'(z)|\le {1-|f(z)|^2\over 1-|z|^2}$ dice $1,2,3$ son Correctos