¿Por qué no la Ecuación trigonométrica $\sin (x) \sin (2x) \sin(3x)=1$ tiene soluciones reales

Question

Mientras que la práctica de algunos problemas que me encontré con una pregunta:

Probar que la siguiente ecuación no tiene solución real,

$$\sin (x) \sin (2x) \sin(3x)=1$$

A primera vista, pensé en aplicar el teorema de Rolle o comprobar el dominio de la función, pero todos estos enfoques me llevan a un callejón sin salida. Alguien podría dar una idea de la técnica que puede ser utilizada para manejar ese tipo de preguntas?

Answer 1

Para la real $x$, $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Para tener un producto de los senos igual a uno, todos ellos tendrían que ser $1$, o dos de ellos tendría que ser $-1$. En cualquier caso, uno de ellos tiene que ser $1$, lo que significa uno de los siguientes es verdadera para algún entero $n$: $$x=\pi/2+2\pi n$$ $$2x=\pi/2+2\pi n$$ $$3x=\pi/2+2\pi n.$$ Si la primera es verdadera, entonces el $2x=\pi+4\pi n$, e $\sin(2x)=0$, lo cual no es bueno. Si la segunda es verdadera, entonces el $x=\pi/4+n\pi$, e $|\sin(x)|\neq 1$. El mismo problema surge si la tercera es la verdad. Por lo tanto, no hay soluciones reales.

Answer 2

Si hay una solución, a continuación,$|\sin(x)|=|\sin(2x)|=|\sin(3x)|=1$.

Answer 3

$|\sin(x)|\leq1$ todos los $x$. Desde $\sin x\sin 2x\sin 3x=1$, tenemos $|\sin x|=|\sin 2x|=|\sin 3x|=1$

Por lo tanto $x, 2x, 3x$ tiene que ser de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ donde $k$ es un número entero.

Desde $x$ es una extraña múltiples de $\frac{\pi}{2}$, $2x$ tiene que ser un múltiplo de $\frac{\pi}{2}$.

Answer 4

Debe ser el caso de que $\sin x = \pm 1$, por lo que el $x$ es una extraña múltiples de $\frac{\pi}{2}$. Pero, a continuación, $2x$ es un múltiplo de a $\pi$, por lo que el $\sin 2x = 0$.

Answer 5

Como el pecado, la⁡(x)|≤1 sin(x)sin(2x)sin(3x)=1 tiene solución sólo en cuatro casos:

1. el pecado(x)=1 && sin(2x)=1 && sin(3x)=1

2. el pecado(x)=1 && sin(2x)=-1 && sin(3x)=-1

   o si el pecado(x)=1 => x= π/2 + 2kn ; k es un número entero => 2x= π + 4 kn && 3x= 3π/2 +6 kn =>sen(2x)=0 != 1 && sin(3x)=-1 !=1 => imposible

3. el pecado(x)=-1 && sin(2x)=1 && sin(3x)=-1

4. el pecado(x)=-1 && sin(2x)=-1 && sin(3x)=1

   o si el pecado(x)=-1 => x= 3π/2 + 2kn ; k es un número entero => 2x= 3π + 4 kn && 3x= 9π/2 +6 kn
   =>sen(2x)=0 != 1 && sin(3x)=sin(9π/2)=sen(π/2)=1 => imposible

Así que no hay solución para la ecuación sen(x)sen(2x)sin(3x)=1

Segundo método:

sin(x)sin(2x)sin(3x)=1 |sin(x)sin(2x)sin(3x)|=1 |sin(x)|=1 && |sin(2x)|=1 && |sin(3x)|=1

o |sin(x)|=1 => x= π/2 + kn, k es un número entero => 2x= π + 2kn =>|sin(2x)|=sen(π)=0 != 1 => imposible