Una definición equivalente de la Feller Proceso.

Question

Vi esto en Liggett del Libro (P. 95).

Vamos $S=% %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion ,$ and suppose $\left( X_{t}\right) _{t\geq 0}$ es continua en el tiempo de Markov proceso con espacio de estado $S$ y la transición de la función $\left( p_{t}\right) _{t\geq 0}.$ Show that $\a la izquierda( X_{t}\right) _{t\geq 0}$ es un proceso de Feller si y sólo si

$$ \lim_{t\downarrow 0}p\left( x,\left\{ x\right\} \right) =1\text{ para todo }% x\in %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion $$

y

$$ \lim_{x\rightarrow \infty }p_{t}\left( x,\left\{ y\right\} \right) =0\text{ para todos }y\en %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion \text{ y }t>0. $$

Answer 1

Sólo si: Supongamos $X$ es de Feller. Tome $x\in\mathbb{N}$. Para $y\in\mathbb{N}$, vamos a $f(y) = \delta_{x,y}$. $$\begin{align}\lim_{t\to 0}p_t(x, \{x\}) &= \lim_{t\to 0}\mathbb{E}_x[f(X_t)]\\ &= f(x)\\ &= 1\end{align}$$ Fix$y\in\mathbb{N}$$t>0$. Supongamos que $$\lim_{x\to\infty}p_t(x,\{y\}) > 0.$$ Entonces no es $\epsilon>0$ y un infinito subconjunto $A$ $\mathbb{N}$ tal que, para $a\in A$, $p(a, \{y\})\ge \epsilon$. Para $x\in\mathbb{N}$, vamos $g(x) =\delta_{x,y}$. $g\in C(\mathbb{N})$. $$\begin{align}\mathbb{E}_x[g(X_t)] &= p_t(x, {y})\\ &\ge \epsilon,\end{align}$$ Por lo $p_tg\notin C(\mathbb{N})$, contradiciendo el Talador de propiedad de $X$.

Si: Supongamos $X$ es un proceso por el que la pareja de propiedades que posee. Tome $f\in C(\mathbb{N})$. Fix $x\in\mathbb{N}$. $$\begin{align}\lim_{t\to 0}E_x[f(X_t)] &= \lim_{t\to 0}\mathbb{E}_x\left[\sum_{y\in\mathbb{N}}f(y)\delta_{X_t,y}\right]\\ &= \lim_{t\to 0} \sum_{y\in\mathbb{N}}\mathbb{E}_x[f(y)\delta_{X_t,y}]\\ &=\lim_{t\to 0} \sum_{y\in\mathbb{N}}f(y)p_t(x, y)\\ &= \sum_{y\in\mathbb{N}}f(y)\delta_{x,y}\\ &= f(x),\end{align}$$ con los intercambios de ser justificado por el acotamiento de $f$.

Deje $M<\infty$ unido |f|. Fix $\epsilon > 0$ y deje $L$ ser el conjunto compacto en el que $|f|> \epsilon / 2$. Fix $x\in\mathbb{N}$. $$\lim_{x\to \infty}p(x, L) = 0.$$ $$\begin{align}\mathbb{E}_x[f(X_t)] &\le Mp(x, L) + \epsilon(1 - p(x, L)) / 2\\ &\le Mp(x, L) + \epsilon / 2\end{align}$$ Podemos optar $N$ tal que $Mp(x,L) \le \epsilon / 2$$x\ge N$. Luego, fuera del conjunto compacto $\{0, \cdots, N\}$, $x\mapsto\mathbb{E}_x[f(X_t)]\le \epsilon$. Por lo $X$ es de Feller.