Cómo demostrar que el ángulo entre dos lados de un triángulo es menor de 60 grados?

Question

El producto de dos lados de un triángulo es igual a 8*(R*r) donde R es el circunradio de este triángulo, y r es inradius de este triángulo.

Cómo demostrar que el ángulo entre dos lados de un triángulo es menor de 60 grados?

Answer 1

Supongamos $ab = 8Rr$. Tenemos $abc = 4RA$ donde $A$ es el área del triángulo, por lo tanto $2rc = A$. El área de un triángulo es también dado por $rs$ donde $2s=a+b+c$. De ello se desprende que $2rc = rs$ $4c=a+b+c$ o $3c=a+b$. De ello se desprende que $$ \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9a^2+9b^2-(a+b)^2}{18ab} = \frac{8a^2+8b^2-2ab}{18ab} \geq \frac{14}{18}, $$ (usando el hecho de que $a^2+b^2 \geq 2ab$) lo que implica que $C \leq \arccos(\frac{14}{18}) = 38.9^\circ$.

Answer 2

$$ab=8Rr$$

$$absin(\gamma)=8Rrsin(\gamma)$$ Then left hand side is equal to $2A$ where $$ is the area of triangle and we know that $2A=(a+b+c)r$

$$(a+b+c)r=8rRsin(\gamma)$$ $$(a+b+c)=8Rsin(\gamma) $$ y recordar

$${a\over sin(\alpha)}={b\over sin(\beta)}={c\over sin(\gamma)}=2R$$

$${(a+b+c)\over 2R}=sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=4sin(\gamma) $$

$$sin(\alpha)+sin(\beta)=3sin(\gamma) $$ Nottice that if $60^{0}\leq\gamma$ then rigth hand side is bigger than $2$ which is impossible since $el pecado(\alpha)+sin(\beta)\leq2$ hemos terminado.