Qué $\frac{\langle a_k,b_k\rangle}{\|a_k\|}$ convergen, si $(a_k)_k$ $(b_k)_k$ tienden a $0$ $b\neq 0$ respectivamente?

Question

Si $(a_k)_k$ $(b_k)_k$ ambas secuencias convergentes en $\mathbb{R}^2$ de tal manera que sus límites se $0$ $b\neq0$ respectivamente. ¿La secuencia.

$$\frac{\langle a_k,b_k \rangle}{\|a_k\|}$$ converge? (where $\langle a_k,b_k \rangle$ es el producto escalar).

No estoy realmente seguro de cómo ir sobre esto, ya que el numerador y el denominador ambos van a la $0$( todas las normas son equivalentes, por lo que no importa que la norma elegimos para el denominador).

Pensé que podría intentar usar el teorema del sandwich para aproximar este pero no estoy seguro de cómo, desde el numerador es básicamente $a^1_kb^1_k * a^2_kb^2_k$ e si $(a_k)_k$ $(0,0)$ obviamente el componente de secuencias de ambos tienden a $0$, y no se puede separar de la componente de secuencias de $b_k$. Así que no estoy seguro de cómo ir sobre esto! Cualquier sugerencias en todos los agradecería Gracias de antemano!

Answer 1

La respuesta es no.

Deje $$a_n = \left((-1)^n\cdot\frac1n, \frac1n\right), \text{ for } n\in \mathbb{N}$$ y $b_n = (1, 1)$$n \in \mathbb{N}$, la constante secuencia $(1,1)$.

Tenemos:

$$\frac{\langle a_n, b_n\rangle}{\|a_n\|} = \frac{(-1)^n\cdot\frac1n + \frac1n}{\frac{\sqrt{2}}{n}} = \frac{(-1)^n + 1}{\sqrt{2}}$$

Esta secuencia no convergen.

Answer 2

En general, no.

Tenga en cuenta que han

$\dfrac{\langle a_n, b_n \rangle}{\Vert a_n \Vert} = \langle \dfrac{a_n}{\Vert a_n \Vert }, b_n \rangle; \tag 1$

desde

$\Vert \dfrac{a_n}{\Vert a_n \Vert} \Vert = \dfrac{\Vert a_n \Vert}{\Vert a_n \Vert} = 1, \tag 2$

tenemos

$e_n = \dfrac{a_n}{\Vert a_n \Vert} \in S^1, \tag 3$

donde $S^1$ es el círculo unitario, es una secuencia de vectores unitarios en $\Bbb R^2$; además, para cualquier secuencia de vectores unitarios $e_n \in S^1$, podemos encontrar $a_n \to 0$ tal que (3) se une; como un simple ejemplo, establecer

$a_n = \dfrac{e_n}{n}; \tag 4$

entonces

$a_n \to 0. \tag 5$

La pregunta entonces realmente bisagras en la búsqueda de $\langle e_n, b \rangle$; pero si tomamos

$e_n = \dfrac{(-1)^n b_n}{ \Vert b_n \Vert}, \tag 6$

que siempre podemos hacer una vez $n$ se convierte en lo suficientemente grande, ya que $b_n \to b$ implica $\Vert b_n \Vert \to \Vert b \Vert \ne 0$,

tenemos

$\langle e_n, b \rangle =\langle \dfrac{(-1)^n b_n}{ \Vert b_n \Vert}, b \rangle = (-1)^n \langle \dfrac{b_n}{\Vert b_n \Vert}, b \rangle = \dfrac{(-1)^n}{\Vert b_n \Vert} \langle b_n, b \rangle; \tag 7$

pero

$\dfrac{1}{\Vert b_n \Vert} \langle b_n, b \rangle \to \dfrac{1}{\Vert b \Vert} \langle b, b \rangle = \dfrac{\Vert b \Vert^2}{\Vert b \Vert} = \Vert b \Vert; \tag 8$

entonces tenemos

$\langle e_n, b \rangle \to \Vert b \Vert, \; n \; \text{even}, \tag 9$

y

$\langle e_n, b \rangle \to -\Vert b \Vert, \; n \; \text{odd}, \tag{10}$

así que el sequece $\langle e_n, b \rangle$ no converge. Así, la secuencia (1) no converge así.