Un límite relacionado con una recurrencia de la secuencia

Question

Deja de ser la siguiente secuencia $x_{n}$, $n\geq0$, $0<x_{0}<1$ que satisface la siguiente recurrencia: $$ x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^2+x_{n}^3-x_{n}^4+x_{n}^5-x_{n}^6$$

Después de haber dado este, estoy obligado a calcular: $$\lim_{n\rightarrow\infty} n x_{n} $$

Answer 1

La recurrencia de los rendimientos de $$ \frac{x_{n+1} }{x_n} = (1-x_n) (1+x_n^2 + x_n^4) .$$

Para $z\in (0,1)$ tenemos $ 0< (1-z)(1+z^2+z^4) < 1$ $x_n$ es montonically disminuyendo y no negativo. También tenga en cuenta que desde $x_n$ es un valor no negativo secuencia $0\leq x_n \leq 1$ todos los $n\in \mathbb{N}$ (por si $x_k>1$$x_{k+1}<0$). Por lo tanto $x_n\to x$ donde $x\in[0,1].$ debe satisfacer $$x=x(1-x)(1+x^2+x^4)$$ which can be written $$ x\left((1-x)(1+x^2+x^4) -1\right)=0.$$ Por lo tanto $\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n=0$ y en consecuencia, $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1.$

Ahora calculamos $$ \frac{(n+1) - n}{\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} }= \frac{x_{n+1} x_n}{x_n - x_{n+1}}= \frac{x_{n+1}x_n}{x_n^2-x_n^3 +x_n^4 -x_n^5 +x_n^6} $$

$$= \frac{x_{n+1}/x_n }{1-x_n +x_n^2 - x_n^3 + x_n^4}\to 1.$$

Por lo tanto, por el Stolz–Cesàro teorema llegamos a la conclusión de $\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx_n =1.$