¿Cuando decimos, "ZFC puede encontrar la mayor parte de las matemáticas," lo que queremos realmente decir?

Question

ZFC funciona como una fundación, porque se puede demostrar de muchas frases que son "traducciones" de los teoremas de "estándar" de las matemáticas en el lenguaje de ZFC.

Pero hay una sutileza. Cuando decimos, "ZFC se pueden encontrar en la mayoría de matemáticas," ¿qué es lo que realmente significa?

A qué nos referimos

1. ZFC demuestra que la mayoría de los teoremas (convenientemente traducido en el lenguaje de conjuntos) en las matemáticas de la literatura
2. Un metatheory que tiene el sentido de "consistencia" + el supuesto de que ZFC es consistente se puede usar para probar la mayoría de los teoremas (convenientemente traducido en el lenguaje de conjuntos) en las matemáticas de la literatura
3. Un metatheory que tiene el sentido de "modelos" + el supuesto de que ZFC tiene un modelo puede ser utilizado para probar la mayoría de los teoremas (convenientemente traducido en el lenguaje de conjuntos) en las matemáticas de la literatura
4. Un metatheory que tiene el sentido de "modelos" + el supuesto de que ZFC tiene un modelo estándar puede ser utilizado para probar la mayoría de los teoremas (convenientemente traducido en el lenguaje de conjuntos) en las matemáticas de la literatura
5. Algo más?

Answer 1

Nos referimos a que podemos formalizar los idiomas necesarios, y teorías, y podemos demostrar la existencia de suficientes modelos para "regular las matemáticas" de ZFC.

Esto significa que dentro de cualquier modelo de ZFC podemos mostrar que hay conjuntos que podemos interpretar como los conjuntos para "regular las matemáticas". Conjuntos como el de los números reales con su pedido, además, y así sucesivamente. Y todas las instrucciones que usted ha aprendido en el cálculo acerca de los números reales y de funciones continuas, y así sucesivamente; todos estos pueden ser realizados en grupos que representan a ellos y podemos escribir pruebas (que son otros juegos) y demostrar que estas pruebas son válidas, y así sucesivamente. Todo esto dentro de los juegos, el uso de la nada, sino $\in$.

La cuestión clave es que todo esto sucede internamente, por lo que sucede dentro de cada modelo de ZFC, o más bien en cada universo (incluso si es que no se asume como un conjunto en un universo más grande en su propio).

Answer 2

Yo no creo que tenga nada que ver con los modelos de ZFC, así que yo diría que (1) es el más cercano. Por supuesto que no es el gran número de declaraciones de ZFC demuestra que es importante, es el hecho de que entre las declaraciones que uno puede encontrar, para casi cualquier teorema matemático, formal teorema de ZFC que capta el significado de ese teorema (aunque sea en una muy pedante.)

La principal excepción a esto es teoremas de la teoría de conjuntos en sí, que puede requerir algo como ZFC + gran cardenal axiomas para probar.

Answer 3

Sólo (1). Unformalized matemáticas no se refieren a su propia coherencia o la existencia de sus propios modelos, y su traducción en un sistema como ZFC no, lo haría cualquiera.