Quiero calcular
$$\int_0^\infty \frac{\ln x}{x^2+4}\,dx$$
utilizando el Teorema de los Residuos. El contorno quiero usar es casi la mitad superior del círculo de radio de $R$, pero va alrededor de $0$ después de la mitad de un círculo de radio de $\epsilon$, y el uso de la rama de corte en $3\pi/2$. La imagen de abajo. Vamos a llamar a la izquierda del segmento de $L_1$ y el de la derecha,$L_2$.
Puedo mostrar que $\int_{C_R}\frac{\log z}{z^2+4} = 0.$ no sé qué hacer acerca de la $\int_{C_\epsilon}\frac{\log z}{z^2+4}$. Tengo
$$ \begin{align} \left|\int_{C_\epsilon}\frac{\log z}{z^2+4}\,dz\right| &=\left|-\int_{-C_\epsilon}\frac{\log z}{z^2+4}\,dz\right|\\ &=\left|\int_{0}^\pi\frac{\log(\epsilon e^{it})}{\epsilon^2e^{2it}+4}\cdot i\epsilon e^{it}\,dt\right|\\ &\le\int_{0}^\pi\left|\frac{\log(\epsilon e^{it})}{\epsilon^2e^{2it}+4}\cdot i\epsilon e^{it}\right|\,dt\\ &\le\int_{0}^\pi\left|\frac{\log(\epsilon e^{it})}{\epsilon^2e^{2it}+4}\cdot i\epsilon e^{it}\right|\,dt\\ &\le\int_{0}^\pi\left|\frac{\log(\epsilon e^{it})}{4}\cdot i\epsilon e^{it}\right|\,dt\\ &=\int_{0}^\pi\frac{\left|\ln \epsilon + it\right|}{4}\cdot \epsilon\,dt \end{align} $$
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Pero esto va a$\infty$$\epsilon$$0$. Estoy haciendo algo mal, o hay otra manera de obtener una mejor estimación que va a $0$? Yo tampoco entiendo cómo la rama de corte juega un papel importante, siempre y cuando elegimos algo que no se intersectan las curvas de nivel.
(He cambiado el cálculo para reflejar el comentario.) Veo que esto va a $0$. Utilizando el teorema de los residuos para calcular la integral sobre todo el contorno, me sale
$$ \begin{align} 2\pi i\text{Res}_{2i} \frac{\log z}{z^2+4} &=\left. 2\pi i\frac{log z}{2z}\right|_{z=2i}\\ &=2\pi i\cdot\frac{log(2i)}{4i}\\ &=\frac{ln 2 + i\frac{\pi}{2}}{4i}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(\ln 2 + i\frac{\pi}{2}\right). \end{align} $$
Desde
$$\int_{L_1} f(z) + \int_{L_2} f(z) \to \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+4}, $$ Casi tengo lo que quiero. Pero ¿qué es eso $i\pi/2$?
