Un familiar límite, pero en forma general .

Question

Supongamos $a \in \mathbb{R} ,a>1$ Hay una idea para calcular el límite por debajo ? $$\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1^a+2^a+3^a+...+n^a}{n^a}-\frac{n}{a+1} \right)$$ I tried it for $a=1,2,3$ pero me quedo atascado en forma general . Alguien me puede ayudar ? Gracias de antemano.

Answer 1

Por Stolz teorema (ver aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem) obtenemos: $$\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1^a+2^a+3^a+...+n^a}{n^a}-\frac{n}{a+1} \right)=$$ $$=\frac{1}{a+1}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(a+1)(1^a+2^a+3^a+...+n^a)-n^{a+1}}{n^a}=$$ $$=\frac{1}{a+1}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(a+1)n^a-n^{a+1}+(n-1)^{a+1}}{n^a-(n-1)^a}=$$ $$=\frac{1}{a+1}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(a+1)n^a-n^{a+1}+n^{a+1}-(a+1)n^a+\frac{a(a+1)}{2}n^{a-1}+...}{n^a-n^a+an^{a-1}+...}=\frac{1}{2}.$$

Answer 2

Usted también puede solicitar básicos de la Combinatoria. $n^a$ es el número de funciones de $[1,a]$ $[1,n]$ $k!{n\brace k}$(donde el número de Stirling de segunda especie ${n\brace k}$ cuentas por el número de maneras de particionamiento $[1,n]$ a $k$ no vacía de subconjuntos) es el número de surjective funciones de$[1,n]$$[1,k]$. Por la clasificación de las funciones de $[1,a]$ $[1,n]$según la cardinalidad de su rango, tenemos $$ n^a = \sum_{h=1}^{a}\binom{n}{h}h!{a\brace h} $$ y por el hockey stick identidad $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N} n^a &=& \sum_{h=1}^{a}\binom{N+1}{h+1}h!{a\brace h}\\&=&\binom{N+1}{a+1}a!+\binom{N+1}{a}(a-1)!\frac{a(a-1)}{2}+\sum_{h<a-1}\binom{N+1}{h+1}h!{a\brace h}. \end{eqnarray*}$$ De ello se sigue que $$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^a}\sum_{n=1}^{N} n^a&=&\frac{(N+1)\cdots(N-a+1)}{N^a(a+1)}+\frac{(N+1)\cdots(N-a+2)\cdot(a-1)}{2\cdot N^a}+O\left(\frac{1}{N}\right) \end{eqnarray*}$$ y la simplificación de $$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^a}\sum_{n=1}^{N} n^a &=& \frac{N+1}{a+1}\prod_{k=1}^{a-1}\left(1-\frac{k}{N}\right)+\frac{a-1}{2}+O\left(\frac{1}{N}\right)\\&=&\frac{N+1}{a+1}\left(1-\frac{a(a-1)}{2N}\right)+\frac{a-1}{2}+O\left(\frac{1}{N}\right)\\&=&\frac{N}{a+1}+\color{red}{\frac{1}{2}}+O\left(\frac{1}{N}\right).\end{eqnarray*}$$ De hecho, todo el problema se reduce al cálculo del número de Bernoulli $B_1$, como ya se señaló en el comentario sobre el EML fórmula.