Probar cualquier número de la forma $2^n$ no puede ser escrito como la suma de k números consecutivos.

Question

Creo que he demostrado que cualquier número de la forma $2^n$ no puede ser escrito como la suma de k enteros positivos consecutivos, pero yo estaría muy agradecido si pudiera tener alguna aclaración acerca de si esta es correcta y válida la prueba o no.

Deje $g=x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+(k-1))$, por lo tanto g es la suma de k enteros positivos consecutivos.

$g=kx+\sum_{d=1}^{k-1}d$

Por lo tanto, $g=kx+\frac{k(k-1)}{2}$

Reorganización de x podemos encontrar, $x=\frac{g}{k}-\frac{(k-1)}{2}$

Así que, para ciertos valores de $k$, podemos estar seguros de que un valor entero positivo de $x$ se puede encontrar, y por lo tanto, $g$ puede ser escrito como la suma de $k$ consecutivos enteros positivos.Hay dos casos para $k$ a considor:

Caso 1)

$k$ es impar. Si $x$ existe, debe ser el caso $k$ | $g$, como para valores impares de $k$, $\frac{(k-1)}{2}$ se alwyas ser un número entero, y, por tanto,$x$.

Caso 2)

$k$ es incluso. $k$ no divide $g$, pero $\frac{g}{k}$ debe ser un múltiplo de $\frac{1}{2}$, y por lo tanto es igual a $\frac{h}{2}$, por alguna extraña $h$.

Dejando $j=2^n$, supongamos que podemos escribir $j$ como la suma de $k$ consecutivos enteros positivos.

Si $k$ es impar, entonces si $k$ existe, debe dividir a $j$, por el Caso 1. Pero, $j$ no tiene impar de factores es una potencia de dos, por lo tanto $k$ no pudo ser impar.

Si $k$ es aún, por el Caso 2 es mut ser el caso de la $k$ no divide $j$. También, $\frac{j}{k}=\frac{h}{2}$, por alguna extraña $h$.

Pero, esto implica $2j$ tiene un factor impar, $h$. pero, como $2j$ es una potencia de $2$, no puede tener impar de factores. Por eso, $k$ no puede ser impar.

Por lo tanto, $k$ ni es par o impar, y esto es una contradicción con nuestra hipótesis. Por tanto, no se $x$ existe, y por lo tanto, y el número de la forma $2^n$ no puede ser escrito como la suma de $k$ consecutivos enteros positivos.

Cualquier comentario sobre esta prueba será apreciada.

Answer 1

Es un poco más impermeable a hacerlo en la otra dirección: en Lugar de comenzar con $g$ y en busca de una manera de escribir como la suma de números enteros consecutivos, empezar por una suma de $k\ge 2$ enteros consecutivos y demostrar que la suma de sus partes no puede ser una potencia de dos.

Utilizamos el hecho general de que la suma de una progresión aritmética es finito $$ (\text{number of terms})\frac{(\text{first term})+(\text{last term})}{2} $$

Si hay un extraño número de términos ($\ge 3$), entonces el primer factor de esta es divisible por alguna extraña prime, y dividiendo por $2$ al final no puede hacer que se vaya. Por lo que la suma es divisible por el mismo impar primo, y no es una potencia de $2$.

Si hay una incluso el número de términos, exactamente uno de los primeros y los últimos términos será impar. Por lo que el numerador de la fracción anterior es impar, y es divisible por un extraño prime; como antes de esta extraña primer dividirá la totalidad de la expresión.