Es posible la escritura de este subgrupo como una cierta unión de líneas discontinuas?

Question

Consideremos el conjunto a $E=\{ x\in\mathbb{R}^3\mid x\notin\mathbb{Q}^3 \}$.

Es posible escribir $E$ como una unión de pares distintos ejes de las líneas paralelas?

Esto parece ser un problema para que la solución va a ser, probablemente, no-constructiva, tal vez usando inducción transfinita?

Answer 1

No, es imposible. Supongamos que es posible, y considerar el conjunto de los ocho puntos cuyas coordenadas son todos bien $0$ o $\pi$. (Todos estos puntos están en $E$, excepto para el origen.) Tenga en cuenta que $(\pi, 0, 0)$ debe pertenecer a una de nuestras líneas, y debe ser $\{(\pi, y, 0)\}$ o $\{(\pi, 0, z)\}$ $\{x, 0, 0\}$ no está contenido en $E$. Suponer sin pérdida de generalidad que es el primero. A continuación, este cubre $(\pi, 0, 0)$$(\pi, \pi, 0)$. A continuación, veamos $(0, \pi, 0)$. Esto sólo podría ser contenida en $\{(x, \pi, 0)\}$ o $\{(0, \pi, z)\}$, pero el anterior es imposible, ya que se cruza con nuestra línea anterior en $(\pi, \pi, 0)$. Un argumento similar muestra que $(0, 0, \pi)$ debe ser incluida en la línea de $\{(x, 0, \pi)\}$ en lugar de $\{(0, y, \pi)\}$, debido a que ya hemos golpeado $(0, \pi, \pi)$.

Ahora hemos encontrado tres líneas, es decir $\{(\pi, y, 0)\}, \{(0, \pi, z)\},$$\{(x, 0, \pi)\}$, que contienen exactamente seis de las ocho puntos elegidos: todos ellos con la excepción de $(\pi, \pi, \pi)$ y el prohibido $(0, 0, 0)$. Pero algunos de la línea debe contener $(\pi, \pi, \pi)$, y tenemos una contradicción: cada uno de los tres ejes-líneas paralelas que contienen $(\pi, \pi, \pi)$ se cruzan una de las líneas que ya hemos elegido.

Edit: Como Eric señaló en los comentarios, la prueba puede ser simplificado enormemente por la observación de que cualquier eje paralelo de la línea que contiene al menos uno de nuestros siete puntos elegidos en $E$ debe contener exactamente dos de ellos, y siete puntos no pueden ser divididos en pares.