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¿Son posibles los determinantes complejos para las matrices y, en caso afirmativo, cómo pueden interpretarse?

Me han pedido que calcule el determinante de un $3 \times 3$ matriz con entradas complejas. Lo he hecho utilizando el método de expansión normal a lo largo de una fila o columna que utilizaría si las entradas fueran reales. Mis preguntas son:

1) ¿es esto lo que debería hacer?

2) He obtenido un resultado complejo, ¿cómo interpreto lo que significa? Me han dado a entender que el absoluto del determinante de un $3 \times 3$ matriz representaría su volumen, pero ¿puede un volumen ser complejo?

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Para 1: sí. Para 2: ciertamente ya no puedes interpretar tu determinante como un volumen, pero la definición del determinante sigue funcionando con matrices complejas, y a veces es útil, así que las admitimos.

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La interpretación como volumen ya no tiene sentido, pero hay otras interpretaciones del determinante que sí lo tienen. Por ejemplo, se puede pensar en el determinante como el producto de todos los valores propios, contados con multiplicidad.

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¿Realmente se pierde aquí la noción de volumen? Si vemos la matriz compleja como un endomorfismo de un espacio vectorial complejo y luego realizamos una identificación del espacio complejo con un espacio real de doble dimensión, entonces de hecho el cuadrado del valor absoluto del "determinante complejo" es el factor de escala para los volúmenes en el espacio real sobre el que actúa el endomorfismo ...

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rschwieb Puntos 60669

Aunque se pierde la interpretación del "volumen", pero sobrevive otra información, como por ejemplo

  • el determinante es distinto de cero si la matriz es no singular
  • $|det(A)|=1$ si la matriz es una matriz unitaria (Las barras verticales denotan el módulo complejo, aquí)

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