Me han pedido que calcule el determinante de un $3 \times 3$ matriz con entradas complejas. Lo he hecho utilizando el método de expansión normal a lo largo de una fila o columna que utilizaría si las entradas fueran reales. Mis preguntas son:
1) ¿es esto lo que debería hacer?
2) He obtenido un resultado complejo, ¿cómo interpreto lo que significa? Me han dado a entender que el absoluto del determinante de un $3 \times 3$ matriz representaría su volumen, pero ¿puede un volumen ser complejo?
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Para 1: sí. Para 2: ciertamente ya no puedes interpretar tu determinante como un volumen, pero la definición del determinante sigue funcionando con matrices complejas, y a veces es útil, así que las admitimos.
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La interpretación como volumen ya no tiene sentido, pero hay otras interpretaciones del determinante que sí lo tienen. Por ejemplo, se puede pensar en el determinante como el producto de todos los valores propios, contados con multiplicidad.
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¿Realmente se pierde aquí la noción de volumen? Si vemos la matriz compleja como un endomorfismo de un espacio vectorial complejo y luego realizamos una identificación del espacio complejo con un espacio real de doble dimensión, entonces de hecho el cuadrado del valor absoluto del "determinante complejo" es el factor de escala para los volúmenes en el espacio real sobre el que actúa el endomorfismo ...
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Así que yo diría que podemos interpretar el determinante como un "volumen" de la misma manera que consideramos cualquier número complejo como un "escalar": para devolver las cosas a algo significativo en un sentido físico necesitamos invocar conjugados complejos y tomar la norma; pero mientras tanto somos perfectamente capaces de hablar de los números complejos como si fueran una especie de extensión sensata de los reales, siempre que tengamos un método para devolverlos "a la tierra" más adelante...
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Por lo tanto, "i" es un factor de multiplicación perfectamente aceptable para cantidades reales (interpretándolo si se quiere -pero no necesariamente- como que nos lleva a un $\pi/2$ -rotación del estado en un espacio más grande e "invisible") y sus efectos se miden por la distancia a la que mueve las cosas una vez que destilamos la acción hacia el ámbito real. Me atrevería a decir que la relación del determinante complejo con el volumen es exactamente la misma.