Pasando de composites a funciones individuales

Question

$f(g(k(x)))=\sqrt{1+4x^2}$ y$g(k(f(x)))=1+4x$

¿Cuál es una forma sistemática de resolver para$f$,$g$ y$k$? Nunca aprendí algo así en álgebra.

Answer 1

Dudo que haya una manera sistemática además de la "conjetura educada". Mirando$ \sqrt{1 + 4x^2}$ y$1 + 4x$ vemos que el primero contiene las funciones$\sqrt{\cdot}$ y$(\cdot)^2$, y el último no. Como la cuadratura y la raíz cuadrada son inversas entre sí, dos de las funciones en$g\circ k \circ f$ deben ser$\sqrt{\cdot}$ y$(\cdot)^2$. Como la raíz cuadrada se aplica por última vez y la función de cuadratura primero en$\sqrt{1 + 4x^2}$, suponemos que$f(x) = \sqrt{x}$ y$k(x) = x^2$. Como ahora$(k \circ f)(x) = x$, nos quedamos con$$ 1 + 4x = (g \circ k \circ f)(x) = g\bigl(k \circ f)(x)\bigr) = g(x) $ $ Y ahora tenemos$$ f\Bigl(g\bigl(k(x)\bigr)\Bigr) = \sqrt{1 + 4x^2} $ $