Generalización del teorema de la función inversa a subvariedades

Question

En Guillemin y el Colín de la Topología Diferencial, dan como un ejercicio (#1.8.14) demostrar la siguiente generalización del Teorema de la Función Inversa:

El uso de una partición de la unidad técnica de probar una versión de noncompact [el Teorema de la Función Inversa]. Supongamos que el derivado de $f: X \a Y$ is an isomorphism whenever $x$ lies in the submanifold $Z \subconjunto X$, and assume that $f$ maps $Z$ diffeomorphically en $f(Z)$. Demostrar que $f$ mapas de un barrio de $Z$ diffeomorphically en un barrio de $f(Z)$.

No hay una respuesta aquí, pero hay una cosa que no entiendo. Lo voy a resumir la respuesta. Tomar un local de diffeomorphism vecindario $U_z$ alrededor de cada una de las $z \in Z$, lo que da una tapa abierta $f(U_z)$$f(Z)$. Tomar un localmente finito refinamiento $V_i$. Deje $g_i$ ser el local de la recíproca definidos en cada una de las $V_i$. Para cada una de las $V_i \cap V_j$, vamos a $W_{ij}:= \{y \in V_i \cap V_j: g_i(y) \neq g_j(y)\}$. Los conjuntos de $\overline{W_{ij}}$ son localmente finito, por lo que su unión es cerrado, por lo $(\cup_z f(U_z)) \setminus \ (\cup_{i,j}\overline{W_{i,j}})$ es un conjunto abierto en el que una inversa se define y contiene $f(Z)$.

Mi problema es: ¿por qué contiene $f(Z)$? Ciertamente, $W_{ij} \cap f(Z) = \emptyset$ todos los $i,j$, pero ¿por qué, $\overline{W_{ij}} \cap f(Z) = \emptyset$ todos los $i,j$? En particular, ¿por qué no una secuencia de puntos en $W_{ij}$ convergen a un punto en $f(Z)$?

Answer 1

Podemos demostrar que cualquier dos elementos de la colección refinada ${g_i}$ que se definición en $y$ tienen un sistema abierto no vacío alrededor de $y$ en que están de acuerdo:

Supongamos que tenemos dos barrios $V_i=f(U_i)$ y $V_j=f(U_j)$ $y =f(z) \in f(Z)$ junto con inversas locales $g_i$ y $g_j$. Entonces tenemos $$g_i(V_i) \cap g_j(V_j)=U_i \cap U_j \subset X,$ $, que es un barrio abierto de $z$ $X$. Así el conjunto de $$V=g_i^{-1}(U_i \cap U_j) \cap g_j^{-1}(U_i \cap U_j) $$ is an open neighborhood of $y $ in $Y $ on which $ g_i $ and $g_j $ are both defined. Moreover, for $y ' \in V$, tenemos $ de $$f(g_i(y'))=y'=f(g_j(y'))$ y $g_i(y')=g_j(y')$ porque $f$ es uno a uno.

Answer 2

Supongamos $f: X \to Y$ mapas de $Z \subset Y$ diffeomorphically en $f(Z) \subset Y$.

Desde $df_x: T_x(X) \to T_y(y)$ es un isomorfismo para cada una de las $x \in Z$, existen abrir conjuntos de $x \in U_x \subset X$ $V_x \subset Y$ tal que $f$ mapas de $U_x$ diffeomorphically en $V_x$ por el Teorema de la Función Inversa presenta como Ejercicio 1.3.10 de Guillemin-Pollack (versión compacta).

El $\{V_x\}_{x \in X}$ forma una cubierta abierta de a $f(Z)$, ya que el $f(x) \in V_x$. Ahora, aplique Ejercicio 1.8.13 de Guillemin-Pollack (cada cubierta abierta de a $\{V_\alpha\}$ de un colector $X$ tiene un localmente finito refinamiento) para tomar una localmente finito de refinamiento, que vamos a llamar a $V_i$, con local inverso $g_i: V_i \to X$, de tal manera que $f \circ g_i = \text{Id}_{V_i}$.

Definir $W = \{y \in Y: g_i(y) = g_j(y) \text{ whenever }y \in V_i \cap V_j\}$. En $W$, es claro que podemos definir un mundial inverso $g: W \to X$ tomando $g(y) = g_i(y)$ cualquier $i$ tal que $y \in V_i$. Esto está bien definido en $W$ $g_i(y) = g_j(y)$ siempre $y \in V_i \cap V_j$.

$W$ contiene $Z$ $f$ mapas diffeomorphically en $f(Z)$, lo $g_i(y) = g_j(y) = f^{-1}(y)$ cualquier $y \in Z$. Ahora fijar un $f(x) \in f(Z)$. Queremos mostrar que $W$ contiene un abierto barrio de $f(x)$. Por la propiedad de que la $\{V_i\}$ es un localmente finito cubierta de $f(Z)$, existe un entorno $V$ $f(x)$ que se cruza con sólo un número finito de la $V_i$, – por la indización de ellos, si es necesario, llame a $V_1, \dots, V_k$.

A continuación, $\widetilde{V} = V \cap V_1 \cap \dots \cap V_k$ es una intersección finita de abiertos que contengan $f(x)$, lo $\widetilde{V}$ es una vecindad de a $f(x)$. Por otra parte, en $\widetilde{V}$ $g_i$ es un local diffeomorphism con $g(\widetilde{V}) \subset U_i \ni x$. Por lo tanto, en $\widetilde{V}$, $g_i$ todos estén de acuerdo,$\widetilde{V} \subset W$. Así que hemos terminado.