Reescalado para la desviación estándar deseada

Question

Pido disculpas por lo que probablemente sea una pregunta muy básica. He buscado tanto aquí como en los lugares habituales y no he tenido suerte.

He leído que hay al menos dos métodos para transformar linealmente los datos de manera que se pueda dar a la distribución una determinada desviación estándar deseada. Cuáles son y hay casos en los que se querría utilizar un método en lugar de otro?

Para concretar, digamos que tienes puntuaciones de 0 a 50, una media de 35 y una sd de 10, y que quieres reescalar para que la sd sea de 15.

Answer 1

La DS es directamente proporcional a los datos. Por lo tanto, para cambiarla de 10 a 15 = 1,5 * 10, multiplica todas las puntuaciones por 1,5. La otra forma es multiplicar todas las puntuaciones por -1,5, ya que al negar todos los valores no cambia la DE. Por supuesto, también se puede añadir una constante arbitraria a todas las puntuaciones, sin cambiar la DS. Esta es una descripción exhaustiva del lineal transformaciones de los datos que cambian la DS al valor deseado.

Utilizarás el múltiplo negativo cuando quieras invertir el orden de los datos.

Answer 2

Si tienes una variable aleatoria (o datos observados) $X$ con la media $\mu_x$ y la desviación estándar $\sigma_x$ y luego aplicar cualquier transformación lineal $$Y=a+bX$$ entonces encontrará la media de $Y$ es $$\mu_y = a + b \mu_x$$ y la desviación estándar de $Y$ es $$\sigma_y = |b|\; \sigma_x.$$

Así, por ejemplo, como dice whuber, para multiplicar la desviación estándar por 1,5, las dos posibilidades son $b=1.5$ o $b=-1.5$ , mientras que $a$ puede tener cualquier valor.