$\infty - \infty = 0$ ?

Question

Se me da esta secuencia con la raíz cuadrada. $a_n:=\sqrt{n+1000}-\sqrt{n}$. He leído que la secuencia converge a $0$ si $n \rightarrow \infty$. Entonces yo dije, bueno, puede ser debido a $\sqrt{n}$$\infty$, y, a continuación,$\infty - \infty = 0$. Estoy en lo cierto? Si estoy en lo cierto, ¿por qué estoy en lo cierto? Quiero decir, ¿cómo puede algo como $\infty - \infty = 0$ a suceder, ya que la primera $\infty$ que proviene de $\sqrt{n+1000}$ es definitivamente más grande que $\sqrt{n}.$?

Answer 1

El argumento de $\infty-\infty=0$ fallan si consideras $a_n=(n+1)-n$ donde el límite es, obviamente, $1$ o $n^2-n$ donde el límite es de $\infty$. De hecho, si $a_n\to \infty$ $b_n\to \infty$ se puede decir nada de la covergence de $a_n-b_n$ (a menos que tenga pistas adicionales).

En nuestro caso, a pesar de $\sqrt{n+a}$ es estrictamente mayor que $\sqrt{n}$, ambos divergen a $+\infty$ exactamente de la misma manera. De hecho, $$\sqrt{n+a}-\sqrt{n}=\frac{n+a-n}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\to a\frac{1}{\infty}=0$$ para cualquier $a\in \mathbb{R}$. Para el primero la igualdad he utilizado la conocida identidad: $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})$$

Answer 2

No, $\infty-\infty$ es indeterminado.

Esto es lo que puede hacer:

$$ \sqrt{n+1000}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1000}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1000}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n}}=\frac{n+1000-n}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n}}. $$

Ahora usted seguramente puede ver por qué esto converge a $0$.

Answer 3

Pero esto no es realmente $\infty-\infty$. Este es el límite de las diferencias entre dos secuencias sin límite. Este es el punto clave aquí.

La diferencia se aproxima a cero, debido a que $1{,}000$ es muy pequeña en comparación con $\sqrt n$. En algún punto, $\sqrt n$ es casi el tamaño de $\sqrt{n+1000}$. Por ejemplo, para $n=10^{1000}$ la diferencia es muy pequeña, que es $a_{10^{1000}}$ es un número muy pequeño.

Answer 4

Usted tiene que mirar a la secuencia en particular. En su caso, un poco de álgebra aclara las cosas:

$$ \sqrt{n+1000} - \sqrt{n} = \frac{1000}{\sqrt{n+1000} + \sqrt{n}} \approx \frac{1000}{2 \sqrt{n}} $$

lo que obviamente va a cero, como se $n \rightarrow \infty$.

Answer 5

$$\sqrt{n+100}-\sqrt n=\frac{100}{\sqrt{n+100}+\sqrt n}\xrightarrow [n\to\infty]{}0$$

Pero no estás a la derecha, ya que por ejemplo

$$\sqrt n-\sqrt\frac{n}{2}=\frac{\frac{n}{2}}{\sqrt n+\sqrt\frac{n}{2}}\xrightarrow [n\to\infty]{}\infty$$

De hecho, "una diferencia $\,\infty-\infty\,$ en los límites de la teoría puede ser cualquier cosa