Calcular el $\int_0^{\pi/4} \frac{\cot (x)}{\cot ^2(x)+\sqrt{\cot (x)}} \, dx$

Question

Esto no es realmente uno de ese tipo de integrales que Mathematica no puede manejar, pero dado
el caso de un concurso, ¿cómo nos gustaría manejar con ella? Me gustaría mucho saber su ideas acerca de la lucha contra las integrales. Podemos hacer que las cosas aquí realmente sencillo? Las soluciones son opcionales.

Calcular

$$\int_0^{\pi/4} \frac{\cot (x)}{\cot ^2(x)+\sqrt{\cot (x)}} \, dx$$

Pregunta complementaria: calcular

$$\int_0^{\pi/4} \frac{x \cot (x)}{\cot ^2(x)+\sqrt{\cot (x)}} \, dx.$$

Answer 1

Acaba de dejar $$ u=\cot x. $$ Usted va a obtener la integral $$ \int_1^{+\infty}\frac{u}{u^2+\sqrt{u}}\frac{1}{1+u^2}\,du, $$ que estoy seguro de que usted puede manejar con sus habilidades (solo deje $s=\sqrt{u}$ y tiene una función racional).