Me gustaría para evaluar esta integral,$$\int_{0}^{1}\frac{\arctan\left(\frac{ax}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x}}\frac{dx}{x^{3/2}}\tag1$$
Este es el enfoque que va a tomar:
Podemos empezar con un sub: $y=\sqrt{x}$, $dx=2\sqrt{x}dy$
$$-2\int_{0}^{1}\frac{\arctan\left(\frac{ay^2}{y^2-1}\right)}{\sqrt{1-y^2}}\frac{dy}{y^2}\tag2$$
No estoy seguro, pero podemos tratar de integración por partes: $u=\arctan\left(\frac{ay^2}{y^2-1}\right)$, $$du=\frac{2ay}{y^2-1}-\frac{2ay^3}{(y^2-1)^2}\times \frac{1}{\frac{a^2y^4}{(y^2-1)^2}+1}dy$$
$dv=\frac{1}{y^2\sqrt{1-y^2}}dy$, $$v=-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$$
$$2a\int_{0}^{1}\frac{(1-y^2)^{3/2}}{(y^2-1)+a^2y^4}+2a\int_{0}^{1}\frac{y^2(1-y^2)^{1/2}}{(y^2-1)^2+a^2y^4}dy=2a\left(I+J\right)\tag3$$
Integral I: Hacer que el otro sub: $y=\sin(u)$, $u=\arcsin(y)$, $dy=\cos(u) du$
Es demasiado para escribir todo abajo, finalmente llegamos a: $$I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{cos^4(u)}{a^2\sin^4(u)+\cos^4(u)}du$$
Utilizando identidades trigonométricas podemos reescribir
$$I=\int_{0}^{\pi/2}\sec^2(u)\frac{du}{(1+\tan^2(u))(1+a^2\tan^4(u))}$$
Hacer otro sub: $s=\tan(u)$, $du=\frac{1}{\sec^2(s)}ds$
$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{ds}{(1+s^2)(1+a^2s^4)}$$
El uso parcial de la fracción decomp:
$$I=\frac{\pi}{2(a^2+1)}-\frac{a^2}{a^2+1}\int_{0}^{\infty}\frac{s^2-1}{a^2s^4+1}ds$$
Integral J: Hacer que el otro sub: $y=\sin(v)$, $v=\arcsin(y)$, $dy=\cos(v) dv$
$$J=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^2(v)\sin^2(v)}{(a^2+1)\sin^4(v)-2\sin^2(v)+1}$$
Utilizando identidades trigonométricas para volver a escribir
$$J=\int_{0}^{\pi/2}\sec^2(v)\cdot \frac{\tan^2(v)}{(1+\tan^2(v))(a^2\tan^4(v)+1)}$$
Hacer otro sub: $t=\tan(v)$, $dv=\frac{1}{\sec^2(v)}dt$
$$J=\int_{0}^{\infty}\frac{t^2}{(1+t^2)(1+a^2t^4)}dt$$
El uso parcial de la fracción decomp:
$$J=\frac{1}{1+a^2}\color{red}{\int_{0}^{\infty}\frac{a^2t^2+1}{a^2t^4+1}dt}-\frac{\pi}{2(1+a^2)}$$
La red integral es, sin duda camino fuera de mi alcance!
$$\int_{0}^{\infty}\frac{a^2t^2+1}{a^2t^4+1}dt=\int_{0}^{\infty}\frac{t^2}{t^4+a^{-2}}dt+\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{a^2t^4+1}$$
El enfoque anterior parece que no será ayudar en la evaluación de la pregunta.
Después de simplificación tengo a:
$$2a(I+J)=\int_{0}^{1}\frac{\arctan\left(\frac{ax}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x}}\frac{dx}{x^{3/2}} =\frac{1}{1+a^2}\int_{0}^{\infty}\frac{a^2+1}{a^2^4+1}dt$$
Si mi trabajo hasta el momento es el correcto, entonces yo soy shruggle en la solución de esta integral
$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^2t^4+1}dt=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(at^2-i)(at^2+i)}dt$$
