Difícil integración doble

Question

Estoy tratando de integrar: $$\int \int_D (3x+4y)^4 dx dy$$ $$ 0 \leq x \leq 4$$$$0 \leq y \leq 1$$ Veo que se ve muy fácil, pero yo no logran integrar.

1. Me trató de ampliar la polynom e integrarlo para $dx$, y, a continuación, para $dy$. Creció obviamente muy rápido fuera de control:

$$(3x)^4+4(3x)^3(4y)+6(3x)^2(4y)^2+4(3x)(4y)^3+(4y)^4$$, that to be integrated wrt to $x$, and then to $$ y parece algo malo.

2. Traté de volver a escribir que: $$\int \int_D (3rcos \theta +4r sin \theta)^4 dr d\theta$$ $$\int \int_D r^4(3cos \theta +4sin \theta)^4 dr d\theta$$

Pensé entonces que necesito integrar wrt $r$, $r$ va de cero a 5:

$$\int \int_D 5e^{i\theta} dr d\theta$$

3. He intentado reemplazar $(3x+4y)^4$$u^4$, pero cuando me integrar de 0 a 1 (wrt $y$), obtengo $\dfrac{1}{5}x$, por lo que supongo que es lo malo como bueno.

Pero luego no sé el ángulo se supone que debo integrar.

No tengo más ideas acerca de cómo proceder con este problema.

Answer 1

SUGERENCIA

$$ \int (3x+4y)^4dx = \frac{(3x+4y)^5}{15} + C. $$

Por lo tanto, usted puede integrar esta ecuación es

$$\int_0^1 \int_0^4 (3x+4y)^4 dxdy,$$

se convierte en

$$ \frac{1024}{5}\int_0^1 \left[ 5y^4 + 30y^3 + 90y^2 + 135y + 81 \right] dy.$$

Answer 2

Resolvemos de forma explícita, usando Fubini: $$ \begin{aligned} \int \int_D (3x+4y)^4 \;dx\; dy &= \int_0^4dx \int_0^1 (3x+4y)^4\; dy \\ &= \int_0^4dx \left[\ \frac 15\cdot\frac 14(3x+4y)^5\ \right]_0^1\; dy \\ &= \int_0^4 \frac 15\cdot\frac 14\Big[\ (3x+4)^5-(3x+0)^5\ \Big]\; dx \\ &= \frac 15\cdot\frac 14\cdot \frac 16\cdot\frac 13\Big[\ (3x+4)^6-(3x+0)^6\ \Big]_0^4\; dx \\ &= \frac 15\cdot\frac 14\cdot \frac 16\cdot\frac 13\Big[\ 18^6-4^6-12^6+0^6\ \Big] \ . \end{aligned} $$ Equipo de verificación, aquí el uso de la salvia:

sage: var( 'x,y' );
sage: integral( integral( (3*x+4*y)^4, y, 0, 1), x, 0, 4 )
191488/5
sage: ( (12+4)^6 - (12+0)^6 - (0+4)^6 + (0+0)^6 ) / ( 5*4*6*3 )
191488/5