El valor de x que satisface la ecuación $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$

Question

El valor de x que satisface la ecuación $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$

(A) $2 \cos 10$

(B) $2 \cos 20$

(C) $2 \cos 40$

(D) $2 \cos 80$

Fui lo suficientemente tonto como para cuadrar la expresión para alcanzar $x^8-4x^6+4x^4+2-x=0$ que es claramente un callejón sin salida ;-;

Answer 1

Usando la identidad trigonométrica, $$\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$$ $$2\cos2x+2=4\cos^2x$$

Buscamos un ángulo que permita la relación $\sin x=\cos(\frac{\pi}{2}-x)$ en el último paso. Esto se debe a que, trabajando de adentro hacia afuera, el primero da un coseno, el segundo da un seno, por lo que para que el último sea un coseno, debemos cambiar el seno en un coseno a través de la relación anterior.

Una simple comprobación/uso de la intuición descubre que C es la respuesta.

$$x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$$ Si $x=2\cos40$ , $$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos40}}}=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{4\cos^220}}}$$ $$=\sqrt{2+\sqrt{2-2\cos20}}=\sqrt{2+\sqrt{4\sin^210}}=\sqrt{2+2\sin10}$$ $$=\sqrt{2+2\cos80}=2\cos40=x$$