Demostrando $\pi = 48\tan^{-1}\frac{1}{18} + 32 \tan^{-1}\frac{1}{57} - 20\tan^{-1}\frac{1}{239}$

Question

La siguiente ecuación representa la $\pi$ a algunos decimales usando la tangente inversa. Necesito demostrar que el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho. $$ \pi = 48\bronceado^{-1}\frac{1}{18} + 32 \bronceado^{-1}\frac{1}{57} - 20\bronceado^{-1}\frac{1}{239} $$

Answer 1

Para demostrar la fórmula, vamos a utilizar la identidad (ver aquí) $$ \arctan\frac{a_1}{b_1} + \arctan\frac{a_2}{b_2} = \arctan\frac{a_1 b_2+a_2b_1}{b_1b_2-a_1a_2}. \etiqueta{1} $$ Denotar $$\arctan\frac{1}{b} = f(b).\tag{2}$$ Entonces la fórmula que se han formulario $$ f(1) = 12 f(18) + 8 f(57) - 5 f(239).\la etiqueta{3} $$

La prueba estará basada en la $2$-plazo-RHS identidades que se puede comprobar fácilmente a través de $(1)$.

a): desde $f(239)=4f(5)-f(1)$ (ver Machin de la Fórmula), después de la sustitución de $f(239)$ $(3)$obtenemos el equivalente de la fórmula de probar: $$ f(1) = 5f(5)-3f(18)-2f(57).\la etiqueta{4} $$

b): desde $f(18)=f(5)-f(7)$, obtenemos una nueva identidad para probar: $$ f(1)=2f(5)+3f(7)-2f(57).\la etiqueta{5} $$

c): desde $f(57)=f(7)-f(8)$, llegamos a una nueva identidad para probar: $$ f(1) = 2f(5)+f(7)+2f(8).\la etiqueta{6} $$

d): desde $f(8)=f(3)-f(5)$, llegamos a $2$-plazo-RHS fórmula: $$ f(1)=2f(3)+f(7),\etiqueta{7} $$

e): y desde $f(7)=f(2)-f(3)$, llegamos a otro conocido Machin-como (Euler) fórmula: $$ f(1)=f(2)+f(3).\la etiqueta{8} $$

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Así, la fórmula puede ser obtenida a partir de a $(8)$: cada paso reemplaza argumento más apropiadas dos argumentos (y reemplace $5$ en el último paso). El esquema es:

$(2),3 \longrightarrow \color{red}{3},\color{red}{7}$

$(3),7 \longrightarrow \color{red}{5},7,\color{red}{8}$

$5,7,(8) \longrightarrow 5,\color{red}{7},\color{red}{57}$

$5,(7),57 \longrightarrow \color{red}{5},\color{red}{18},57$

$(5),18,57 \longrightarrow \color{red}{1},18,57,\color{red}{239}$.

Answer 2

Por fuerza bruta:

Mediante la adición de fórmula,

$$\tan\left(12\arctan\frac1{18}\right)=\tan\left(6\arctan\frac{36}{323}\right)=\tan\left(3\arctan\frac{23256}{103033}\right) \\=\tan\left(\arctan\frac{23256}{103033}+2\arctan\frac{23256}{103033}\right) \\=\tan\left(\arctan\frac{23256}{103033}+\arctan\frac{4792270896}{10074957553}\right)=\frac{728065260080136}{926604049600873},$$

$$\tan\left(8\arctan\frac1{57}\right)=\tan\left(4\arctan\frac{57}{1624}\right)=\tan\left(2\arctan\frac{185136}{2634127}\right)=\frac{975343472544}{6904349713633},$$

$$\tan\left(\arctan\frac{728065260080136}{926604049600873}+\arctan\frac{975343472544}{6904349713633}\right)=\frac{99498527400}{95420159401},$$

$$\tan\left(4\arctan\frac1{239}\right)=\tan\left(2\arctan\frac{239}{28260}\right)=\frac{13651680}{815616479},$$

$$\tan\left(\arctan\frac1{239}+\arctan\frac{13651680}{815616479}\right)=\frac{4078367999}{194918686801},$$

y, finalmente,

$$\tan\left(\arctan\frac{99498527400}{95420159401}-\arctan\frac{4078367999}{194918686801}\right)=1.$$

Fácil como eso.