La existencia de una solución para una educación a distancia definida en un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$.

Question

Deje $U \subset \mathbb{R}^n$ ser un conjunto abierto, y $B$ un suave matriz valorado en función de $B:U \to M_n(\mathbb{R})$ .

Deje $\frac{\partial}{\partial x^1}$ ser la constante de campo vectorial definido en $U$. Estoy intentando (sin éxito) para probar que determinado $x_0 \in U$, e $A_0 \in M_n(\mathbb{R})$ existe un suave matriz valorado en función de $A:U \to M_n(\mathbb{R})$ , tal que:

$\frac{\partial A}{ \partial x^1}= B \cdot A $ ,$A(x_0)=A_0$. Y que la dependencia de la $(x_0 , A_0)$ es suave.

Así llegué a este problema tratando de mostrar la suavidad de una distribución definida en un colector, y el uso de un gráfico (lectura Spivak introducción a diferenciable de la geometría, vol 2, pp 338 2ª edición), y he estado tratando con los clásicos teoremas de existencia, mi idea es:

Tome $x_0=(x_0^1 , \dots , x_0^n) \in U$ y definir la primera ODA:

$A'(t)= B(c(t))\cdot A(c(t))$.

Donde $c$ es una curva integral de $\frac{\partial}{\partial x^1}$ tal que $c(0)= x_0$, esta ecuación es muy bueno saber para tener una solución con condición inicial $A_0$, y parece natural intentar definir el $A(c(t)) = A(t)$. Si me tome las curvas por $(x_0^1 \pm \epsilon, x_0^2, \dots x_0^n)$ I puede definir la educación a distancia con la misma condición inicial. El problema es que no puedo ver por qué todas estas soluciones, pegamento juntos! Agradecería cualquier ayuda o consejos. de hecho, no sé si es verdad! (una amiga me dijo que el uso más general de la existencia de solución teorema que permite a $B$ ser una función suave de $\mathbb{R}^n$, pero no puedo encontrar este teorema en cualquier lugar) ...

Cualquier ayuda o consejo es bienvenido. Muchas gracias a todos!

Answer 1

Versión editada: primera Nota que la ecuación no tiene una solución única, ya que son de la prescripción sólo una derivada parcial y, por tanto, multiplicar cualquier solución mediante una función de las otras coordenadas es de nuevo una solución. Lo que describo es la solución más sencilla, que es independiente de todas las otras coordenadas.

Más o menos por la definición de la matriz exponencial, la curva de $c:\mathbb R\to M_n(\mathbb R)$ definido por $c(t)=e^{tB}$ es la solución única de la ODE $c'(t)=B\cdot c(t)$ (donde el punto indica la matriz de producto) con $c(0)=\mathbb I$. Si desea cambiar la condición inicial simplemente multiplicar desde la derecha por una matriz apropiada.

Para aplicar esto a tu problema, simplemente tome la primera a la función de las coordenadas $x^1$ y restar la constante $x_0^1$. A continuación, puede ver que si se definen $\tilde A(x):=e^{(x^1-x_0^1)B}=e^{x^1B}e^{-x_0^1B}$, entonces esto resuelve la ecuación de $\frac{\partial}{\partial x^1}A(x)=B\cdot A(x)$ por la definición de la derivada parcial con condición inicial $\tilde A(x_0)=\mathbb I$. Para obtener la solución con la condición inicial que usted quiere, usted tiene que tomar $A(x):=e^{(x^1-x_0^1)B}A_0$.

En general, el hecho de que las soluciones que hacer cola junto básicamente es debido a la suave dependencia de la solución en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la condición inicial. Pero en este caso, la fórmula explícita para las soluciones que se encargará de todo.