Podemos eliminar el valor absoluto cuando se hace Diophantine Aproximación?

Question

Esta es una pregunta general. Para Diophantine Aproximación de las proposiciones, las declaraciones de incluir siempre el valor absoluto signo, pero creo que si podemos eliminar el valor absoluto signo, la aproximación será más útil.

Por ejemplo, tenemos Hurwitz del teorema:

Para cualquier irracional $\zeta$ existen infinitos pares de números enteros $p,q$ tal que $|\zeta - p/q|<\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$

Sin embargo, cuando se retire el valor absoluto, es la siguiente declaración verdadera o no?

Para cualquier irracional $\zeta$ existen infinitos pares de números enteros $p,q$ tal que $0<\zeta - p/q<\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$

Esto es sólo un ejemplo. Mi pregunta principal es: ¿hay alguna teoría al respecto? Donde puedo conseguir la referencia sobre este tema?

Answer 1

No sé si se puede quitar el valor absoluto en la aproximación. Sin embargo, será verdadero si se le cae tanto el valor absoluto y el factor de $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Citando material de $\S$ 1.3 de Ivan Niven del libro Diophantine Aproximaciones, tenemos las siguientes asimétrica aproximación de números irracionales.

Teorema 1.7 - Dado cualquier número irracional $\theta$ y la de no-número real negativo $\tau$, existe una infinidad de números racionales $\frac{h}{k}$ tal que $$-\frac{1}{\sqrt{1+4\tau}k^2} < \theta - \frac{h}{k} < \frac{\tau}{\sqrt{1+4\tau}k^2}$$ Además, la declaración sostiene si se sustituye la pieza central por $\frac{h}{k} - \theta$.

Como corolario,

Corolario 1.9 - Dado cualquier irracional $\theta$, hay infinitamente muchos racionales $\frac{h}{k}$ tal que $$-\frac{1}{k^2} < \theta - \frac{h}{k} < 0$$ y también infinitamente muchos racionales $\frac{h}{k}$ tal que $$ 0 < \theta - \frac{h}{k} < \frac{1}{k^2}$$