Vamos a demostrar considerando $B(a,r) = \{ x\in \mathbb{R}^{m};$ $|x-a|_1$ $< r\}$ (esto no es un problema porque en $\mathbb{R}^m$ todas las normas son equivalentes, se dan cuenta de que ahora $\text{Vol}(B_r(a)) = 2^m r^m $) por otra parte, supongamos, sin pérdida de generalidad que $f(a) = 0$. Y considerar la posibilidad de $\delta >0$ como un número real tal que $\overline{B_\delta} (a) \subset U$.
Dado $\varepsilon>0$, vamos a $0<r<\delta$ ser un número real lo suficientemente cercano a cero satisfactoria
$$\left|Df(a)(y-a) - f(y) - f(a) \right| < \varepsilon |y-a| \leq \varepsilon r$$
para todos $y$ $\in$ $B_r:=\overline{B_r}(a)$.
Por hipótesis de $Df(a)$ no es un isomorfismo, entonces el conjunto $\{Df(a)(y-a); y \in B_r \}$ se encuentra en un $(m-1)$-dimensional subespacio $V\subset \mathbb{R}^n $, en consecuencia el conjunto de $\{f(y) - f(a); y\in B_r\}$ se encuentra dentro de $\varepsilon r$ de la $(m-1)$-avión $V+f(a) = V$.
Por otro lado, el uso de la compacidad de $\overline{B_\delta}(a)$ y el valor de la media de la desigualdad, no es $M$ $\in$ $\mathbb{R}$, tal que
$$|f(y)|=|f(y) - f(a)| < M |y-a|, \hspace{0.2cm}\forall\ y\in B_\delta(a),$$
$$\Rightarrow |f(y)|=|f(y) - f(a)| < M |y-a| \leq Mr, \hspace{0.2cm} \forall\ y\in B_r(a),\ \mbox{and }\forall\ 0<r<\delta.$$
Por lo tanto, si el cambio de la base canónica de $\mathbb{R}^m$, $\{e_1,...,e_m\}$, a una base ortonormales $\{v_1,...,v_{m-1}, w\}$ donde $\{v_1,...,v_{m-1}\}$ es una base del espacio vectorial $V$, e $w$ es el vector unitario normal a $V$.
A continuación, podemos considerar $\mathbb{R}^m = \text{span}(v_1) \times ...\times\text{span}(v_{m-1})\times \text{span}(w)$, lo que implica
$$f(B_r) \subset \left[-Mr,Mr\right]\times ... \left[-Mr,Mr\right]\times [-r\varepsilon , r\varepsilon],$$
así
$$\text{Vol}(f(B_r)) \leq 2^m \varepsilon M^{m-1} r^m = \varepsilon M^{m-1} \text{Vol}(B_r)$$
$$\Rightarrow \frac{ \text{Vol}(f(B_r))}{\text{Vol}(B_r)} \leq \varepsilon M^{m-1}.$$
Una vez $M$ es una constante fija el resultado se demuestra, que yo.e;
$$\lim_{r\to 0 } \frac{ \text{Vol}\left(f\left(\overline{B_r}(a) \right)\right)}{\text{Vol}(\overline{B_r}(a) )} =0.$$
Nota: Si $f(B_r) \subset \left[-Mr,Mr\right]\times ... \left[-Mr,Mr\right]\times [-r\varepsilon , r\varepsilon]$ no tiene sentido para usted, la forma correcta de escribir esto sería
$$ f(B_r) \subset \{t\cdot v_1\ ; t\in[-Mr,Mr]\}\times...\times \{t\cdot v_{m-1}\ ; t\in[-Mr,Mr]\}\times \{t\cdot w\ ; t\in[-\varepsilon r,\varepsilon r]\},$$
una vez $\{v_1,...,v_{m-1},w\}$ es un ortonortonal base es inmediato que
$$\text{Vol}\left(\{t\cdot v_1\ ; t\in[-Mr,Mr]\}\times...\times \{t\cdot v_{m-1}\ ; t\in[-Mr,Mr]\}\times \{t\cdot w\ ; t\in[-\varepsilon r,\varepsilon r]\}\right) = 2^m M^{m-1}\varepsilon.$$
