La mediana es el doble de la media

Question

Estoy atascado en la resolución del siguiente problema (en lo que creo que es el último paso):

Determine qué distribuciones en los reales no negativos, si hay alguna, con media $\mu$ son tales que $2\mu$ es una mediana.

Mis pensamientos hasta ahora:

Llamemos a la distribución en cuestión $X$ . Dado que $X$ toma valores en los reales no negativos, podemos aplicar la Desigualdad de Markov $\left(P(X\geq t)\leq\frac{E[X]}{t}, \mbox{ for } t\geq 0\right)$ . Tomando $t = \mu$ en esta desigualdad obtenemos que $$ P(X\geq 2\mu)\leq \frac{\mu}{2\mu} = \frac{1}{2} $$

Sin embargo, dado que $2\mu$ es la mediana, tenemos que $P(X\geq 2\mu)\geq \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, obtenemos que $P(X\geq 2\mu) = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, tenemos igualdad en el Desigualdad de Markov . Por lo tanto, $X\in\left\{ 0,2\mu\right\}$ .

1. ¿Cómo puedo determinar dónde $X$ toma el valor $0$ y donde $X$ toma el valor $2\mu$ (si es que existe tal manera)?
2. A partir del 1, ¿cómo puedo obtener el pdf de $X$ ?

Answer 1

Dejemos que $p:=P(X=2\mu)$ para que $1-p=P(X=0)$ .

Entonces $\mu=(1-p)\cdot0+p\cdot2\mu=2\mu p$ lo que implica que $p=\frac12$ .

Por cierto, de $X\in\{0,2\mu\}$ a.s. se deduce inmediatamente que $X$ es discreta, por lo que tiene una PMF y no una PDF.