¿Es el espacio métrico completo de la $F=\left\lbrace f: f\in C_{\left[0, 1\right]}, f\left(0\right)=f\left(1\right)\right\rbrace$?

Question

¿Es el espacio métrico completo de la $F=\left\lbrace f: f\in C_{\left[0, 1\right]}, f\left(0\right)=f\left(1\right)\right\rbrace$?

Sé cómo demostrar que $C_{\left[0, 1\right]}$ es completa. Pero no sé cómo utilizar condición que $f\left(0\right)=f\left(1\right)$.

Answer 1

$F$ es un subespacio cerrado del espacio completo $\mathcal C_{\left[0, 1\right]}$. Por lo tanto es completa.

¿Por qué está cerrada la $F$? Porque $F$ es la imagen inversa (del subconjunto cerrado) ${0}$ bajo la continua mapa $f \mapsto f(1)-f(0)$.

Answer 2

Usted sólo necesita mostrar que $F$ es un subespacio cerrado de completar el espacio $C[0,1]$.

Considere la posibilidad de una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}} \subset F$$f_n \stackrel{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} f$$C[0,1]$.

A continuación,$f_n(0) \stackrel{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} f(0)$$f_n(1) \stackrel{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} f(1)$.

Por eso, $f \in F$ como bueno, debido a que $0 = f_n(0)-f_n(1) \stackrel{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} f(0)-f(1) = 0$.

Answer 3

$F$ es cerrado en el pointwise la topología en $C([0,1])$ y, por tanto, también en el sup-métrica de la topología. Un subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo en el heredado de la métrica.

Answer 4

Usted tiene que tomar una secuencia de Cauchy en $F$ y demostrar que converge a un límite en $F$. Desde $C([0,1])$ es completa, luego de tomar una secuencia converge a una función de $f$$C([0,1])$.

Ahora el uso de la condición de los extremos de cada elemento de la secuencia se puede conseguir que la $f(0)=f(1)$, por lo tanto es en $F$. Por lo tanto su subespacio es completa.

Answer 5

• Primero intenta demostrar que subespacio cerrado de un espacio métrico es completa.

• A continuación, tratar de demostrar que es un subespacio cerrado.