Dejemos que $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sea una función continua en el subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}^2$ tal que $$(x^2+y^4)f(x,y)+f(x,y)^3 = 1, \forall (x,y) \in U$$ Demuestra que $f$ es de la clase $C^1$ en $U$ .
Creo que es una aplicación del teorema de la función implícita, pero no sé cómo resolverlo, porque sólo he visto ejemplos sobre sistemas de ecuaciones lineales.
El teorema de la función implícita se aplicaría directamente para decirte que si tienes la ecuación $$F(x,y,z) = (x^2+y^4)z + z^3 = 1,$$ entonces se puede resolver localmente para $z=f(x,y)$ cerca de $(x_0,y_0,z_0)$ como $C^1$ función proporcionada
(1) $F$ es $C^1$ (lo es)
(2) $\partial F/\partial z \ne 0$ en el punto $(x_0,y_0,z_0)$ .
¿Qué es lo que nota en $\partial F/\partial z$ en cada punto de $U$ ?
He utilizado el punto $(x_0,y_0,z_0) = (0,0,1)$ y así $det (D_2F(0,0,1)) = 3 \neq 0$ ¿verdad?
No entiendo su anotación. ¿Qué es $D_2F$ ? Debería poder responder a mi pregunta anterior en cualquier momento $(x_0,y_0,z_0)$ .
$JF(x,y,z) = [2xz\ 4y^3z\ x^2+y^4+3z^2]$ y $D_2F = [x^2+y^4+3z^2]$ . Cualquier punto $(x_0,y_0,z_0)$ tal que $F(x_0,y_0,z_0) = 0$ ¿correcto? Estoy muy confundido.
Como siempre, Ted dio una gran respuesta (y deberías aceptarla). Sólo voy a hacer un pequeño inciso, que puede que ahora aprecies o no: al ser $C^1$ es una propiedad local, por lo que se quiere comprobar que dado $(x_0,y_0)\in U$ entonces $f$ es de la clase $C^1$ en un barrio de $(x_0,y_0)$ .
Genial, así que una vez que se aplica el IFT a la función $F$ en la respuesta de Ted, se obtiene un barrio $V$ de $(x_0,y_0)$ (que puedes suponer que está contenida en $U$ , sustituyendo a $V$ por $V\cap U$ si es necesario) y un intervalo abierto $I$ centrado en $z_0$ tal que para todo $(x,y) \in V$ hay un único $\varphi(x,y)\in I$ tal que $$F(x,y,\varphi(x,y))=1, $$ y esta función implícita $\varphi:V\to I$ también es $C^1$ . Por el singularidad arriba, $f|_V= \varphi$ es $C^1$ . Y esa es la razón $f$ es $C^1$ . Sólo quería ilustrar la importancia de la parte de la unicidad del teorema, para que puedas utilizar toda su potencia sin perder nada.
Buen punto, Ivo. No dije específicamente que se nos diera eso $f$ fue definida (y continua) en todos los $U$ por lo que la solución local es de hecho global en $U$ .
Por el IFT $f$ es de la clase $C^1$ sólo en un lugar abierto $V \subset U$ no en todos los de U. No veo cómo puedo conseguir $f$ de la clase $C^1$ en $U$
De nuevo: ser $C^1$ es una propiedad local, es decir, $f$ es $C^1$ en $V$ si y sólo si cada punto de $V$ tiene un barrio $U$ tal que $f|_U$ es $C^1$ .
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