Fórmula Kunneth

Question

Estoy tratando de entender la prueba de la Kunneth fórmula, como se describe por Ravi Vakil notas del 18.2.8 aquí:

http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf#page=475

Voy a seguir Ravi la notación. ¿Por qué es que el producto tensor de la Cech complejos de $X$ $Y$ la misma que la Cech complejo de $X \times Y$ con respecto a la cobertura del producto? Más específicamente, deje $\mathcal U = \{U_i \}_{i \in I}$ $\mathcal V = \{ V_j \}_{j \in J}$ ser abierto afín cubre de $X$$Y$. A continuación, $\mathcal U \times_k \mathcal V = \{ U_i \times_k V_j \}$ abierto es afín a la cubierta de $X \times Y$. El $n$-cochains en Cech complejo de $X \times Y$ son:

$$ C^n(\mathcal U \times_k \mathcal V, \mathcal F \boxtimes \mathcal G) = \prod_{ (i_0,j_0), \dots, (i_n, j_n) \(I \times J)^{n+1} } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) ( (U_{i_0} \times V_{j_0}) \cap \dots \cap (U_{i_n} \times V_{j_n}) )\\ = \prod_{ (i_0,j_0), \dots, (i_n, j_n) \(I \times J)^{n+1} } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) ( U_{i_0 \dots i_n} \times V_{j_0 \dots i_n} )\\ = \prod_{ (i_0,j_0), \dots, (i_n, j_n) \(I \times J)^{n+1} } \mathcal F(U_{i_0 \dots i_n}) \otimes_k \mathcal G(V_{j_0 \dots j_n}) $$ Esto a mí me parece que $ C^n(\mathcal U, \mathcal F) \otimes_k C^n(\mathcal V, \mathcal G)$. No veo cómo se supone que esta es el grado $n$ parte de a $C^\bullet(\mathcal U, \mathcal F) \otimes C^\bullet(\mathcal V, \mathcal G)$, que es $$ \bigoplus_{p+q=n} C^p(\mathcal U, \mathcal F) \otimes C^q(\mathcal V, \mathcal G). $$

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Deje $X=Y=\Bbb P^1$ con el estándar abierto cubre $U_0,U_1$$X$$V_0,V_1$$Y$. A continuación, nuestros abra la cubierta para$X\times Y$$W_{ij} = U_i\times V_j$$i,j \in \{0,1\}$. Vamos a escribir exactamente lo que el Cech complejo es:

El grado 0 de una sola intersecciones: $W_{00},W_{01},W_{10},W_{11}$

Grado 1 doble intersecciones es como sigue: $W_{00}\cap W_{01}=U_0\times (V_0\cap V_1), W_{00}\cap W_{10}=(U_0\cap U_1) \times V_0, W_{00}\cap W_{11} = (U_0\cap U_1)\times(V_0\cap V_1), W_{01}\cap W_{10} = (U_0\cap U_1)\times (V_0\cap V_1), W_{01}\cap W_{11}= (U_0\cap U_1)\times V_1, W_{10}\cap W_{11} = U_1\times (V_0\cap V_1)$

Grado 2 triple intersecciones: $W_{00}\cap W_{01} \cap W_{10} = (U_0\cap U_1)\times (V_0\cap V_1), W_{00}\cap W_{01}\cap W_{11}=(U_0\cap U_1)\times(V_0\cap V_1), W_{00}\cap W_{10}\cap W_{11} = (U_0\cap U_1)\times (V_0\cap V_1), W_{01}\cap W_{10}\cap W_{11} = (U_0\cap U_1)\times(V_0\cap V_1)$

Grado 3 cuádruple intersección: $W_{00}\cap W_{01}\cap W_{10}\cap W_{11} = (U_0\cap U_1)\times (V_0\cap V_1)$

Por la escritura de los mapas, podemos ver que algunas de las idénticos intersecciones no contribuyen a la cohomology de este complejo, es decir, el complejo es cuasi-isomorfo a la compleja dada con las siguientes intersecciones:

El grado 0 de una sola intersecciones: $W_{00},W_{01},W_{10},W_{11}$

Grado 1 doble intersecciones es como sigue: $U_0\times (V_0\cap V_1), (U_0\cap U_1) \times V_0, (U_0\cap U_1)\times V_1, U_1\times (V_0\cap V_1)$

Grado 2 triple intersecciones: una copia de $(U_0\cap U_1)\times(V_0\cap V_1)$

Grado 3 cuádruple intersección: vacío

La Cech complejo de la cubierta estándar de $\Bbb P^1$ se da de la siguiente manera:

Grado 0: $U_0,U_1$

Grado 1: $U_0\cap U_1$

Escribir el producto tensor de dos de estos complejos, vemos que tiene la forma exacta como el complejo vimos anteriormente, y son de hecho cuasi-isomorfos. El punto clave aquí es que usted puede cancelar lejos de las intersecciones que aparecen en lugares "no deberían" para conseguir exactamente lo que usted desea.