Problema en aritmética modular

Question

No puedo entender cómo el título de esta pregunta, pero ya que esto no es una prueba, no estoy seguro de si hay una mejor manera a este título.

Este es un problema de Norman Bigg de la Matemática Discreta libro de texto que no he podido averiguar.

"Mostrar que la ecuación de $x = x^{-1}$ $\mathbb{Z}_p$ implica que el $x^2 - 1 = 0$, y deducir que $1$$-1$, son los únicos elementos de $\mathbb{Z}_p$ que es igual a su propia inversa."

En primer lugar, $\mathbb{Z}_p$ en el resto del texto se refiere a los enteros modulo (algunos de los mejores), aunque el autor siempre tuvo cuidado de especificar que $p$ fue un primo, a pesar de que no es el caso aquí. Esto es tirar me fuera un poco, como yo sólo funcionó otro ejemplo en $\mathbb{Z}_8$ donde $5$ es su propio inverso (como $5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \ \text{(mod $8$)}$. Así, este no es con $p = 8$, por lo que parece que debe ser el caso de que hay algunas restricciones en $p$, más probable es que sea el primer. (Si estoy equivocado en esto, y esto se puede aplicar a cualquier $p \in \mathbb{N}$, por favor hágamelo saber.)

A partir de aquí, yo no puedo parecer para encadenar estas ecuaciones. He sido capaz de juntar, de nuestra hipótesis, estos hechos:

(a) $xx^{-1} \equiv 1 \ \text{(mod $p$)}$ desde $x$ $x^{-1}$ son inversos.

(b) $x^2 \equiv 1 \ \text{(mod $p$)}$ desde $x = x^{-1}$ por supuesto.

(c) Por la definición de módulo, $x^2 - 1$ es un múltiplo de a $p$, lo $\exists$ $m \in \mathbb{N}$ tal que $x^2 - 1 = mp$.

(d) Tenemos que, de alguna manera deducir que $mp$ debe ser igual a $0$. La única manera posible de lo que podía pensar para hacer esto es asumir que el $p$ es primo y a la conclusión de que $x^2 -1$ claramente no puede ser un primo, ya que es una diferencia de cuadrados. Pero, incluso entonces, no cabe duda de que ser un múltiplo de un número primo, si no me equivoco. Esto no parece tener mucho sentido.

A partir de aquí, a mí me parece que la segunda parte del problema se iba a seguir. Si la igualdad en $\mathbb{Z}_p$ implica $x^2 - 1 = 0$, y podemos factorizar el lado izquierdo, una diferencia de cuadrados, en $(x+1)(x-1)$, entonces claramente $x = 1$ o $x = -1$. Suponiendo que esto es correcto, por favor dígame si no, el único problema parece ser deducir que $x^2 - 1 = 0$.

Cualquier pensamientos útiles y sugerencias sería muy apreciada.

Answer 1

Usted razonamiento está en el camino correcto. Desde $(x-1)(x+1) = x^2 -1 \equiv 0 \pmod{p}$, $p$ divide $(x-1)(x+1)$ y desde $p$ es primo (como usted ha observado, de lo contrario el resultado puede ser falso), $p | (x+1)$ o $p|(x-1)$,, $x \equiv 1 \pmod{p}$ o $x \equiv -1 \pmod{p}$.

Si usted ha tomado $x$$\{-1,\dots,p-2\}$, entonces a partir de aquí se puede concluir que $x^2 -1 = 0$ desde $x = 1$ o $x = -1$. Si no, que no es necesariamente cierto. Por ejemplo, el cálculo anterior $p+1$ verifica $(p+1)^2-1 \equiv 0 \pmod{p}$ pero $(p+1)^2 -1 \neq 0$ como enteros.

Como una nota del lado, $[x] \in \mathbb{Z}_n$ tiene inversa si y sólo si $x$ es coprime con $n$. Para hablar de los inversos en una configuración general, uno debe primero asegurar su existencia. Una manera de hacerlo es tomando $n$ prime, por lo que cualquier elemento distinto de cero tiene un inverso (en otras palabras, $\mathbb{Z}_p$ es un campo si $p$ prime).

Answer 2

La hipótesis de $p$ es primo es necesario en general, porque para concluir, usted necesita saber que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (o $\mathbb{Z}_p$ con su notation) es un integrante de dominio (es decir, satisface "$ab=0\Rightarrow a=0$ o $b=0$ por cada $a$, $b$"). Esto sucede si y sólo si $p$ es el primer (y en este caso, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es aún un campo).

Entonces, como se dijo al final de su pregunta, la manera correcta de llegar a la conclusión es para factorizar $x^2-1$$(x-1)(x+1)$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, y el uso de integridad a la conclusión de que cualquiera de las $x=1$ o $x=-1$ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (tenga en cuenta que si $p=2$, estas dos soluciones son las mismas desde $1=-1$).

PD: La diferencia de dos cuadrados puede ser una de las primeras. Por ejemplo, $9-4=5$.