El problema de Dam Son: ¿cuánto tiempo se tarda en hervir un huevo de avestruz?

Question

El problema de la ebullición de los huevos es un problema aparentemente simple publicado en el blog del físico de UChicago Dam Thanh Son .

El huevo de una gallina tiene una longitud de 5 cm y tarda 6 minutos en hervir. Un huevo de avestruz tiene una longitud de 15 cm. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir un huevo de avestruz? Fotografía con fines ilustrativos solamente )

Como el blog no ofrece más aclaraciones, hice algunas suposiciones y llegué a la siguiente interpretación:

Supongamos que dos esferas hechas de los mismos materiales y con la misma temperatura inicial $T_0$ . En el momento $t_0$ la temperatura circundante es $T > T_0$ . Si la esfera 1 tiene un diámetro $D_1 = 5\, \text {cm}$ y toma $t_1 = 5\, \text {min}$ para que el centro de la esfera (gracias knzhou) alcance la temperatura $T_0 < T_2 < T$ . ¿Cuál es el tiempo para el centro de la esfera 2 que tiene un diámetro $D_2 = 15\, \text {cm}$ para alcanzar la temperatura $T_2$ ?

Según el blog, la respuesta es $( \frac {15}{5})^{2} \times 6 = 54$ minutos. ¿Cómo llegaron a esto?

Answer 1

La distribución de la temperatura dentro de cada esfera en función del tiempo y la posición radial se rige por la ecuación de conducción de calor transitoria (en coordenadas esféricas): $$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)$$ donde $\alpha$ es la difusividad térmica. Las condiciones iniciales y de contorno son:

$T=T_0$ en t = 0, todos los r

$T=T_1$ todo t, a r=R

$r^2\frac{\partial T}{\partial r}=0$ , todo t, r = 0 Estas ecuaciones pueden reducirse a la forma adimensional mediante las siguientes sustituciones: $$\theta=\frac{T-T_0}{T_1-T_0}$$ $$\rho=\frac{r}{R}$$ $$\tau=\frac{\alpha t}{R^2}$$ Con estas sustituciones, las ecuaciones se convierten en: $$\frac{\partial \theta}{\partial \tau}=\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho^2\frac{\partial \theta}{\partial \rho}\right)$$ $\theta = 0$ en $\tau=0$ , todos $\rho$

$\theta = 1$ todo $\tau$ , en $\rho=1$

$\rho^2\frac{\partial \theta}{\partial \rho}$ , todos $\tau$ , $\rho = 0$

Obsérvese que no hay parámetros ajustables en la ecuación diferencial adimensional ni en las condiciones de contorno. Por lo tanto, para lograr un valor específico de la temperatura adimensional $\theta$ en el centro de ambas esferas requiere un valor específico de tiempo adimensional $\tau=\tau^*$ . En términos de tiempo real, esto sería $$t=\frac{R^2}{\alpha}\tau^*$$ Suponiendo que las difusividades térmicas de los dos materiales del huevo son iguales, esto significa que el tiempo es proporcional al cuadrado del radio R del huevo.

Answer 2

Parece que se está asumiendo que el tiempo de cocción del huevo es proporcional al cuadrado del diámetro.

$$T=pd^2$$

Dónde $p$ es la constante de proporcionalidad. Por tanto,

$$T_{chicken}=pd_{chicken}^2$$

$$T_{ostrich}=pd_{ostrich}^2$$

O resolver ambos para $p$

$$p=\frac{T_{chicken}}{d_{chicken}^2}=\frac{T_{ostrich}}{d_{ostrich}^2}$$

Por lo tanto,

$$T_{ostrich}=(\frac{d_{ostrich}^2}{d_{chicken}^2})*T_{chicken}=54\space min$$

La pregunta entonces es ¿por qué asumimos esta proporcionalidad? Lo más fácil que se me ocurre es que están asumiendo que este tiempo es proporcional a la superficie del huevo. Así que entonces $p=a*\pi$ donde $a$ es algún otro factor que tiene que ver con la transferencia de calor del agua al huevo. Esto tiene sentido. Una mayor superficie permite una mayor transferencia de calor.

Sin embargo, creo que el volumen también debería entrar en juego. Se necesitaría más tiempo para calentar algo con más volumen. Si alguien puede orientar sobre este punto, puedo ajustar mi respuesta en consecuencia.

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Gracias a @BowlOfRed:

El tiempo de cocción es proporcional a $\frac{energy\space needed\space to\space boil}{rate\space of\space heat\space exchange}$ (energía/(energía/tiempo))->tiempo).

La energía necesaria va a ser proporcional al volumen del objeto (más cosas significan más energía necesaria). Esto conlleva un $d^3$ dependencia.

El índice de intercambio de calor es proporcional tanto al área ( $d^2$ ) de la superficie, así como la diferencia de temperatura por unidad de longitud ( $1/d$ ) (transferencia de energía más rápida si tenemos más energía y mayores diferencias de temperatura en longitudes más cortas).

Por lo tanto, nuestro tiempo $T$ para el calentamiento es proporcional a $\frac{d^3}{d^2/d}=d^2$

A continuación, podemos seguir el trabajo anterior para llegar a la respuesta final.

Answer 3

Queremos mostrar que el tiempo de cocción es proporcional a $R^2$ , donde $R$ es el radio; entonces el huevo de avestruz tomará $9$ veces más tiempo de cocción.

Se puede obtener esto de forma intuitiva considerando cómo el flujo de calor escala con el tamaño del objeto, pero también se puede demostrar mediante un análisis dimensional. Lo único que puede importar es $$\text{radius} \ R \sim [\text{m}], \quad \text{heat capacity } C \sim [\text{J/K}], \quad \text{thermal conductivity } \kappa \sim \left[ \frac{\text{J}}{\text{K} \cdot \text{m} \cdot \text{s}} \right].$$ No incluyo las temperaturas aquí, porque la temperatura inicial, la temperatura del agua hirviendo y la temperatura "objetivo" son las mismas para ambos huevos. Como la ecuación del calor es lineal, eso significa que cualquier dependencia de estas temperaturas desaparecerá cuando tomemos una relación de tiempo.

La única manera de conseguir un periodo de tiempo $T$ es tener $$T \sim \frac{C}{R \kappa}$$ pero como $C$ es proporcional al volumen, $T$ es proporcional a $R^2$ como se desee.