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Convergencia de series geométricas con |r|>1

La serie geométrica n=0arn con a, r \in \mathbb{R} converge a \frac{a}{1-r} si y solo si |r| < 1.

Dada esta demostración:

\sum_{n=0}^\infty ar^n = a + \sum_{n=1}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n [1],

donde podemos despejar \sum_{n=0}^\infty ar^n como

$(1-r) \sum_{n=0}^\infty ar^n = a`,

llegando a

$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \blacksquare`,

mi pregunta es: ¿dónde se ha utilizado el hecho de que r debe ser |r| < 1`? Para mí, todos los pasos realizados en [1] son verdaderos sin importar cómo sea r`.

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Esa "prueba" no es prueba en absoluto, ninguna de ella tiene sentido a menos que ya sepas que la suma converge.

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@DavidC.Ullrich ¿por qué es eso?

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La prueba no parece ser una prueba de a qué converge la serie y parece dar por sentado que la serie converge si y solo si |r| < 1. Debería ser obvio que la serie no converge si |r| \ge 1. No sería difícil probar que converge si $|r| < 1`, pero... esta prueba parece no importar.

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yakobyd Puntos 146

Esta prueba no es válida ya que asume la convergencia. La siguiente implicación no tiene sentido

\sum_{n=0}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n \implies (1-r) \sum_{n=0}^\infty ar^n = a

a menos que se asuma la convergencia de \sum_{n=0}^\infty ar^n (porque si se asume que diverge, entonces \sum_{n=0}^\infty ar^n es indefinido. ¿Se pueden hacer operaciones aritméticas con objetos indefinidos?).

Aquí hay una prueba de que 1=0: \sum_{n=0}^\infty 1 = 1 + \sum_{n=0}^\infty 1 \implies 1=0

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No diría que prueba "nada". Prueba que si la serie converge, entonces converge a \frac a{1-r}. Pero eso era lo absolutamente menos importante que necesitaba ser probado. Obviamente, lo más importante a probar es cuándo converge la serie, algo que esta "prueba" extrañamente parecía ignorar sin problemas.

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Gracias, reformularé mi declaración.

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fleablood Puntos 5913

La prueba es incompleta.

Para ser completa debe probar.

1) la serie no converge si |r| \ge 1.

2) la serie converge si |r| < 1.

3) cuando la serie converge lo hace a \frac a{1-r}

La prueba hace 3) pero ignora por completo las primeras dos.

La prueba adecuada es encontrar el límite de sumas finitas:

Para un n finito, \sum_{i=0}^n ar^n se puede mostrar que es igual a a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1} (suponiendo que r \ne 1. Si r=1 entonces es claro que \sum ar^i = n*a que claramente diverge.)

(Porque (r-1)\sum\limits_{i=0}^n ar^n = \sum\limits_{i=0}^{n} (ar^{i+1} - ar^i) =\sum\limits_{i=1}^{n+1}ar^i - \sum\limits_{i=0}^{n}ar^i=ar^{n+1} - 1.)

Esto es continuo, así que \lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1} lo cual converge a a\frac {K - 1}{r-1} si y solo si r^{n+1} converge a K y r \ne 1.

Es fácil mostrar que r^{n+1} converge a 0 si |r| < 1, converge a 1 si r = 1 (lo cual hemos descartado por otras razones) y no converge en otros casos.

Así que \sum_{i=0}^\infty ar^n = \lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1}= a\frac {0 - 1}{r-1} = \frac a{1-r} si y solo si |r| < 1.

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(1) es falso a menos que asumas que a \ne 0 (que es un caso límite trivial, concedido, pero aún así necesita ser explícitamente excluido).

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Sí, supongo que sí.

2voto

CodeMonkey1313 Puntos 4754

Tu problema está aquí:

\sum_{n=0}^\infty ar^n = a + \sum_{n=1}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n

Como varios comentarios y respuestas señalan, al utilizar los \infty en las sumas, se asume que los límites de las sumas parciales existen: esa es la definición de una suma infinita.

Lo que puedes decir es esta identidad para sumas finitas \sum_{n=0}^N ar^n = a + \sum_{n=1}^N ar^n = a + r\sum_{n=0}^{N-1} ar^{n+1}

No puedes concluir tu "demostración" a partir de aquí.

Para resumir: si de alguna manera estableces que la suma existe, entonces tu argumento encuentra correctamente su valor.

1voto

jonasfh Puntos 116

Si r\geq 1, entonces la suma diverge a \infty, y no se puede restar \infty de \infty. Si r \leq -1, entonces la suma no existe.

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Sé que si r \geq 1 entonces diverge a \infty, pero quiero saber, en ese caso, qué está mal con la prueba dada en mi pregunta.

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@CarlosNavarroAstiasarán Como dije, falla cuando estás restando \infty de \infty.

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Entonces ... eso no significa si |r|<1 que la serie converge.

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