La prueba es incompleta.
Para ser completa debe probar.
1) la serie no converge si |r| \ge 1.
2) la serie converge si |r| < 1.
3) cuando la serie converge lo hace a \frac a{1-r}
La prueba hace 3) pero ignora por completo las primeras dos.
La prueba adecuada es encontrar el límite de sumas finitas:
Para un n finito, \sum_{i=0}^n ar^n se puede mostrar que es igual a a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1} (suponiendo que r \ne 1. Si r=1 entonces es claro que \sum ar^i = n*a que claramente diverge.)
(Porque (r-1)\sum\limits_{i=0}^n ar^n = \sum\limits_{i=0}^{n} (ar^{i+1} - ar^i) =\sum\limits_{i=1}^{n+1}ar^i - \sum\limits_{i=0}^{n}ar^i=ar^{n+1} - 1.)
Esto es continuo, así que \lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1} lo cual converge a a\frac {K - 1}{r-1} si y solo si r^{n+1} converge a K y r \ne 1.
Es fácil mostrar que r^{n+1} converge a 0 si |r| < 1, converge a 1 si r = 1 (lo cual hemos descartado por otras razones) y no converge en otros casos.
Así que \sum_{i=0}^\infty ar^n = \lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1}= a\frac {0 - 1}{r-1} = \frac a{1-r} si y solo si |r| < 1.
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Esa "prueba" no es prueba en absoluto, ninguna de ella tiene sentido a menos que ya sepas que la suma converge.
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@DavidC.Ullrich ¿por qué es eso?
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La prueba no parece ser una prueba de a qué converge la serie y parece dar por sentado que la serie converge si y solo si |r| < 1. Debería ser obvio que la serie no converge si |r| \ge 1. No sería difícil probar que converge si $|r| < 1`, pero... esta prueba parece no importar.
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La prueba está incompleta. Demuestra que cuando la serie converge, converge a \frac a{1-r} pero nada más. No hace nada para demostrar que converge si y solo si |r| < 1.
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¿De dónde sacaste esta prueba extraña e inaceptable?
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@fleablood Lo entendí mal, en realidad es una prueba de dónde converge en lugar de por qué converge, así que es mi culpa (de todos modos lo saqué de Wikipedia).
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Pero no es una prueba de dónde converge. Eso es precisamente lo que no demuestra.