Convergencia de series geométricas con |r|>1

Question

La serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ con $a, r \in \mathbb{R}$ converge a $\frac{a}{1-r}$ si y solo si $|r| < 1$.

Dada esta demostración:

$\sum_{n=0}^\infty ar^n = a + \sum_{n=1}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n$ [1],

donde podemos despejar $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ como

$(1-r) \sum_{n=0}^\infty ar^n = a`,

llegando a

$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \blacksquare`,

mi pregunta es: ¿dónde se ha utilizado el hecho de que $r$ debe ser $|r| < 1`? Para mí, todos los pasos realizados en [1] son verdaderos sin importar cómo sea $r`.

Answer 1

Esta prueba no es válida ya que asume la convergencia. La siguiente implicación no tiene sentido

$$ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n \implies (1-r) \sum_{n=0}^\infty ar^n = a$$

a menos que se asuma la convergencia de $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ (porque si se asume que diverge, entonces $\sum_{n=0}^\infty ar^n$ es indefinido. ¿Se pueden hacer operaciones aritméticas con objetos indefinidos?).

Aquí hay una prueba de que $1=0$: $$ \sum_{n=0}^\infty 1 = 1 + \sum_{n=0}^\infty 1 \implies 1=0$$

Answer 2

La prueba es incompleta.

Para ser completa debe probar.

1) la serie no converge si $|r| \ge 1$.

2) la serie converge si $|r| < 1$.

3) cuando la serie converge lo hace a $\frac a{1-r}$

La prueba hace 3) pero ignora por completo las primeras dos.

La prueba adecuada es encontrar el límite de sumas finitas:

Para un $n$ finito, $\sum_{i=0}^n ar^n$ se puede mostrar que es igual a $a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1}$ (suponiendo que $r \ne 1$. Si $r=1$ entonces es claro que $\sum ar^i = n*a$ que claramente diverge.)

(Porque $(r-1)\sum\limits_{i=0}^n ar^n = \sum\limits_{i=0}^{n} (ar^{i+1} - ar^i) =\sum\limits_{i=1}^{n+1}ar^i - \sum\limits_{i=0}^{n}ar^i=ar^{n+1} - 1$.)

Esto es continuo, así que $\lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1}$ lo cual converge a $a\frac {K - 1}{r-1}$ si y solo si $r^{n+1}$ converge a $K$ y $r \ne 1$.

Es fácil mostrar que $r^{n+1}$ converge a $0$ si $|r| < 1$, converge a $1$ si $r = 1$ (lo cual hemos descartado por otras razones) y no converge en otros casos.

Así que $\sum_{i=0}^\infty ar^n = \lim\limits_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n ar^n=\lim\limits_{n\to \infty}a\frac {r^{n+1} - 1}{r-1}= a\frac {0 - 1}{r-1} = \frac a{1-r}$ si y solo si $|r| < 1$.

Answer 3

Tu problema está aquí:

$$ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + \sum_{n=1}^\infty ar^n = a + r\sum_{n=0}^\infty ar^n $$

Como varios comentarios y respuestas señalan, al utilizar los $\infty$ en las sumas, se asume que los límites de las sumas parciales existen: esa es la definición de una suma infinita.

Lo que puedes decir es esta identidad para sumas finitas $$ \sum_{n=0}^N ar^n = a + \sum_{n=1}^N ar^n = a + r\sum_{n=0}^{N-1} ar^{n+1} $$

No puedes concluir tu "demostración" a partir de aquí.

Para resumir: si de alguna manera estableces que la suma existe, entonces tu argumento encuentra correctamente su valor.

Answer 4

Si $r\geq 1$, entonces la suma diverge a $\infty$, y no se puede restar $\infty$ de $\infty$. Si $r \leq -1$, entonces la suma no existe.