Según la interpretación más simple de Manin del comentario, las estructuras algebraicas aquí están las teorías (en realidad, sólo los conjuntos de oraciones), con las operaciones correspondientes a las pruebas. Esto se inscribe en una tradición ya existente ("lógica algebraica") de tratar de dar algebraica de las interpretaciones de los sistemas lógicos.
Nota histórica: El éxito originales de la lógica algebraica es la relación entre las álgebras Booleanas y de la lógica proposicional, y este fue ampliada en el topológica lado a través de la Piedra de la dualidad. La foto con más fuerte de la lógica se vuelve mucho más complicado, por desgracia; ver, por ejemplo, la noción de cilíndrico álgebras, que surgen cuando se "algebraify" la lógica de primer orden.
Echemos un vistazo a un débil incompletitud principio primero:
$(*)\quad$ El conjunto $Th(\mathbb{N})$ de true sentencias en el lenguaje de la aritmética no es finitely axiomatizable.
Este es un corolario del primer teorema de la incompletitud ("No completar la ampliación consecuente de PA (o incluso mucho menos!) es recursivamente axiomatizable").
Ahora vamos a "algebraify" el principio de $(*)$, para decir que una cierta estructura algebraica $\mathcal{A}$ no finitely generado:
Los elementos de $\mathcal{A}$ son exactamente las frases en $Th(\mathbb{N})$.
Las operaciones de $\mathcal{A}$ son sólo las reglas de inferencia de la lógica de primer orden. (Tenemos que ser un poco cuidadoso aquí, y cocinar hasta que un conjunto de "única aplicación de" las reglas de inferencia ya que de lo contrario nuestras "operaciones" son múltiples valores. Alternativamente, se podría tomar como nuestras operaciones individuales de las pruebas: si $p$ es una prueba de $\varphi$$\psi_1,...,\psi_n$, entonces la operación $f_p$ asociado a $p$ $n$- ary operación definida por $f_p(x_1,...,x_n)=\varphi$ si $x_i=\psi_i$ $1\le i\le n$ $f_p(x_1,...,x_n)=x_1$ lo contrario.)
Antes de seguir adelante, vamos a hablar acerca de dónde se $\mathcal{A}$ "vidas" (sobre todo porque la definición de $\mathcal{A}$ sí ya mencionada $Th(\mathbb{N})$, por lo que parece una especie de ad hoc). $\mathcal{A}$ es una subestructura de la mayor estructura $\mathcal{B}$ con las mismas operaciones, pero el dominio que consta de todas las sentencias. $\mathcal{B}$ es computably presentable: su dominio puede ser considerado como el conjunto de válidos los números de Gödel de las penas (que es computable), y cada una de las operaciones del álgebra es computable, cuando así lo interpreta (ejercicio). Así que tiene sentido considerar la $\mathcal{B}$ "dado en el principio," y todo nuestro trabajo está dirigido a entender la complicada subestructuras de $\mathcal{B}$.
El principio de $(*)$ es entonces exactamente equivalente a "$\mathcal{A}$ no es finitely generado." Porque si fueron generados por $\{a_1,...,a_n\}$, la teoría de la $\{a_1,..., a_n\}$ estaría completa y demostrar exactamente $Th(\mathbb{N})$, y esto contradice $(*)$.
Una forma más fuerte de la primera teorema de la incompletitud dice:
$(**)\quad$ No completa coherente de la teoría en el lenguaje de la aritmética se extiende $PA$ (o mucho menos) es finitely axiomatizable.
Ahora el algebraicas situación es la siguiente: tengo un distinguido subestructura $\mathcal{S}$$\mathcal{B}$, que consta de los teoremas de PA; y tengo una distinguida clase $\mathfrak{C}$ de las subestructuras de $\mathcal{B}$, es decir, los correspondientes a completar coherente de teorías. A continuación, $(**)$ es equivalente a la afirmación "Si $\mathcal{A}\in\mathfrak{C}$ $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ no es finitely generado."
Finalmente, el primer teorema de la incompletitud,
$(*$$*$$*)\quad$ No completar la ampliación consecuente de la PA (o, de hecho, muchless) es recursivamente axiomatizable,
es equivalente a la afirmación de que no $\mathcal{A}\in\mathfrak{C}$ contiene $\mathcal{S}$ es de forma recursiva genera. Esto es un poco de una extraña situación, ya que (a diferencia de la generación finita situación) si es o no una estructura de forma recursiva genera es no isomorfismo-invariante (finito de conjuntos siguen siendo finito, no importa cómo se los nombre, pero la recursividad no es tan invariable). Esto explica (creo) ¿por qué Manin habla sobre finito generability, incluso a pesar de que conseguir un resultado más fuerte del teorema de la incompletitud: el más fuerte de resultados, de no ser isomorfismo-invariantes en el rostro de las cosas, no es "algebraicamente natural."
