Es la mitad de un pastel tan grande como un pastel entero?

Question

Estoy leyendo un e-book llamado Al Infinito y más Allá por el Dr. Kent Un Bessey. En el libro el autor hace la afirmación de que Georg Cantor hizo un descubrimiento ", donde la mitad de un pastel es tan grande como todo el conjunto".

En hablar de ella, él parece afirman que, debido a la mitad de un pastel puede ser dividida en una cantidad infinita de piezas, y asimismo un pastel entero puede dividirse en una infinita cantidad de piezas que son de hecho el mismo tamaño.

Por el mismo concepto, afirma que si usted toma todas las piezas del borde de una caja podrá crear muchas más cajas de cualquier tamaño que usted quería usar esas piezas.

Esto parece innegable falso para mí. No puedo dejar de trazar un paralelo entre los límites -> infinito. Donde esos límites puede ser igual a 2 o algún otro valor finito. En mi opinión, incluso si usted fuera a romper la mitad de un pastel en una infinita cantidad de piezas de las piezas nunca podrían sumar más de la mitad de un pastel.

Estoy entendiendo mal? Puede alguien explicar este concepto mejor?

Answer 1

Hay (al menos) dos tipos de "tamaño" en matemáticas. Uno es de cardinalidad. En la teoría de conjuntos, la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene, y dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si hay un uno-a-uno el mapeo entre ellos. Este es un grueso especie de "tamaño", en la que muchos conjuntos diferentes comparten la misma cardinalidad: el intervalo de $[0,1]$ es del mismo tamaño que la totalidad de la línea real, que a su vez es el mismo tamaño como todos los de $\mathbb{R}^3$. En este sentido, que es probable que el Cantor del significado, la mitad de un pastel es sin duda el mismo tamaño que un pastel entero. Otro tipo de "tamaño" es la medida, el cual asigna los números reales a (algunos de) los conjuntos de tal manera como para generalizar la costumbre de las longitudes de los segmentos de las líneas, áreas de polígonos, los volúmenes de cubos y esferas, etc. Esto es mucho más preciso: si se corta un disco de área $1$ en objetivos medibles piezas y, a continuación, vuelva a montar las piezas como se quiera, el resultado será aún tienen área de $1$. Sin embargo, si usted permite a cualquier tipo de piezas (no sólo medible), a continuación el de Banach-Tarski paradoja que puede suceder: una esfera de volumen $1$ puede ser cortada en un número finito de piezas y volver a montar dentro de una esfera de volumen $2$. (Esto no puede pasar en el avión, aunque, de modo que su plano circular es seguro.)

Answer 2

Los pasteles son una mala analogía, ya que éstas no son infinitas. Sin embargo, tal vez el siguiente analogía sería útil y una perspectiva diferente de otras respuestas:

Supongamos que un genio que le da la magia de la copa de cerveza que siempre está lleno, no importa cuánto se vierte o beber de ella. Ahora, supongamos que usted consigue otro, exactamente idéntico de la copa - se puede argumentar que la cantidad total de cerveza en el interior de ambos es diferente de la cantidad de cerveza en el primero?

Answer 3

Si desea que su mente soplado algunos más, prueba este.

Como de lo que está pasando aquí, un conjunto infinito es siempre el mismo tamaño como la mitad de sí mismo, ya que podemos definir un bijection entre los dos. El problema parece estar en ejecución en el autor, tratando de dar ejemplos de cómo podría funcionar esto el uso de las cosas que realmente no evocar una imagen de lo infinito. Me encantaría tener una infinita tamaño de la tarta que se podía cortar algunos de y tener siempre más. Dicho esto, no es exactamente una buena imagen para lidiar con el infinito. El problema es que el infinito es un concepto y no puede nunca ser representados exactamente por algo que podemos asignar un número a. Mejor (como en grandes números) ejemplos pueden ser los granos de arena, las estrellas en el cielo o átomos en el universo. Aunque estos ejemplos son un poco mejor, todavía no lo representa el hecho de que los conjuntos infinitos son del mismo tamaño como la mitad de sí mismos.

Answer 4

La masa de la mitad de la empanada es siempre menor que la masa de la torta. Su punto de vista está relacionado con la masa (en el que las matemáticas se pueden calcular las integrales), pero los cardenales son otra cosa. Usted puede consultar por que a muchos artículos o incluso documentales en internet.

Answer 5

En mi opinión personal, me gustaría explicar de la siguiente manera.

1. la mitad de un pastel < pastel entero.

2. la mitad de la empanada \begin{align}&\frac{\pi}{8} + \frac{i}{2\sqrt{\varphi}}\left( (\varphi - i)\tan^{-1}\left(\frac{\varphi + i}{\sqrt{5\varphi}}\right) - (\varphi + i)\tan^{-1}\left(\frac{\varphi - i}{\sqrt{5\varphi}}\right) \right)\\ = & \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2\sqrt{\varphi}}\left( \tan^{-1}(\sqrt{\varphi}^3) -\varphi \tanh^{-1}(\frac{1}{\sqrt{\varphi}^3}) \right) \end> infinito piezas.

   Por la misma razón, la totalidad de la tarta - - - - -> infinito piezas.

3. Pero el proceso de necesidad ENERGE.

4. Y SUPONGO que la mitad de la tarta de necesitar un montón de energe a ser infinito piezas.

   Por la misma razón, todo el pastel a necesitar un montón de energe a ser infinito piezas.

   Creo que un montón de energe = ∞.

5. Así, la mitad de la empanada + un montón de energe = mitad de la tarta + ∞ -> infinito piezas

   toda la tarta + un montón de energe = pastel entero + ∞ -> infinito piezas

   por mi entendimiento:

   la mitad de la empanada + ∞ = pastel entero + ∞

   ∞ = ∞

6. Si alguien puede cortar la mitad de la tarta en la infinidad de piezas, creo que el chico puede restaurar fácilmente los pedazos de un pastel tan grande como el pastel entero.