operador de cierre transitivo de definibilidad de primer orden

Question

Sé que esto parece una tontería, pero no puedo recordar cómo expandir "TC(x)" en un término de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos (ZFC, no NBG) donde épsilon es el único símbolo no lógico.

La definición obvia es una $\omega$ -sentencia larga $x\cup (\bigcup x)\cup (\bigcup\bigcup x)...$ pero eso no está en $L_{\omega\omega}$ .

La definición dada en Jech, p64 apela a "la intersección de cualquier clase con un conjunto es un conjunto" (p8), lo cual es realmente expresable sólo en NBG, ¿no? No sé cómo convertir esto en una simple ZFC utilizando la separación y el reemplazo.

Tampoco me cuesta mucho demostrar que para todo conjunto existe algún otro conjunto que es su cierre transitivo; sólo que no consigo convertir esta prueba de $(\exists y)\phi$ (para $\phi$ y es el cierre transitivo de x") en una descripción explícita de la $y$ .

Empiezo a sospechar que TC(x) no es definible en ZFC, pero que se puede definir como una función de clase en NBG (que es una extensión conservadora de ZFC, por lo que ser capaz de definir TC(x) no te da ningún teorema nuevo sobre conjuntos).

Gracias.

Answer 1

Como Mike Shulman y François G. Dorais correctamente el punto, el idioma oficial de la teoría de conjuntos tiene sólo el binario relación ε, y por lo que no hay condiciones para hablar de en que idioma más allá de los símbolos de variables.

Pero ningún conjunto teórico permanece dentro de ese lenguaje primitivo, y tampoco es deseable o virtuoso para hacerlo. Más bien, como en cualquier discurso matemático, se introduce una nueva terminología, definir nociones e introducir términos. ¿Por qué? Creo que la sustancia de tu pregunta es realmente:

• ¿Cómo puede un conjunto teórico (o cualquier matemático) con sensatez y legítimamente usar términos que no se pueden expresar como términos en el idioma oficial de el tema?

La respuesta es muy general. En cualquiera de primer orden de la teoría T, si se puede demostrar que no hay un único objeto con una propiedad determinada, entonces se puede expandir el idioma mediante la adición de un término para ese objeto, además de la definición de axioma de que dicho término tiene la propiedad deseada. El resultado de la teoría T⁺ será un conservador extensión de T, lo que significa que las consecuencias de T⁺ que se pueden expresar en el idioma antiguo son exactamente las mismas que las consecuencias de T. La razón es que cualquier modelo de M de T puede ser (exclusivamente) se expandió a un modelo de T⁺, simplemente por la interpretación del nuevo plazo en M por su definición. Esta es la razón por la que podemos libremente introducir símbolos para emptyset o ω (o Q y R), y así sucesivamente a la teoría de conjuntos. Del mismo modo, si T demuestra que para cada x, no es un objeto único y tal que f(x,y), entonces podemos introducir un símbolo correspondiente f_φ(x), con la definición de axioma ∀x φ(x,f_φ(x)). Esta nueva teoría, que en el idioma expandido con f_φ, es de nuevo conservador sobre T.

Esto es lo que está pasando con el término de CT(x) para el cierre transitivo de x. Aunque no existe un plazo para el cierre transitivo de x en el lenguaje básico de la teoría de conjuntos, podemos introducir un término, una vez que se prueba que cada conjunto x tiene de hecho una transitiva clsoure. Y una vez que lo ha hecho, el término se convierte oficialmente parte de la ampliación del lenguaje.

A ver que cada conjunto x tiene un cierre transitivo, uno necesita muy poco de ZFC, y como Dorais menciona en los comentarios a tu pregunta, no es necesario construir la V_α jerarquía. Por ejemplo, cada conjunto tiene un cierre transitivo incluso en los modelos de ZF- (y mucho menos), donde el poder conjunto de axioma de la falla y así el V_α jerarquía no existe. Simplemente definir una secuencia x₀ = x y x_n+1 = U x_n. Por Sustitución, el conjunto { x_n | n ε ω } existe, y la unión de este conjunto es, precisamente, CT(x).

En resumen, que debe sentirse libre para introducir la definición de términos, y no hay absolutamente ninguna razón para no escribir TC(x) en la pizarra, como usted ha mencionado. En particular, no debemos sentimos obligados a expresar nuestra hermosa ideas matemáticas en un lenguaje primitivo con sólo ε, como una especie de código de máquina, simplemente porque es posible, en principio, para hacerlo.

Answer 2

Como una adición a Joel Hamkins respuesta: el más débil afirmación (`Transitivo de Contención') que cada conjunto x está contenida en un conjunto transitivo (no necesariamente su clausura transitiva) no es demostrable en ZF - Sustitución (a veces conocido como Z Zermelo-la teoría de conjuntos).

Joel dice en su respuesta que necesita para reunir los resultados de la toma de sucesivas $\bigcup$. Para esto $\Sigma_1$-Reemplazo es más que suficiente (si AxFoundation está formulado en el camino correcto para $\Pi_1$ clases).

Como un segundo apéndice (como el debate continúa) uno debe comentar que nos encontramos en plena ZF la $\in$-teorema de recursión: por lo tanto podemos definir la función de la clase $x\rightarrow TC(x)$ dentro de ZFC (sin necesidad de NBG) a través de la recursividad esquema de $$TC(x)= \bigcup [TC(y) : y\in x] \cup x $$. La función definida tiene el mismo estatus como $\alpha \rightarrow V_\alpha$ (que es también definido por un esquema de recursión). El ex garantiza la existencia de $TC(x)$ cualquier $x$, $V_\alpha$ cualquier $\alpha$. Ni función es problemático para el total ZF-conjunto teórico.

A la pregunta original, parece ser estimulada por el hecho de que no tenemos una obvia {\em definición explícita} para $TC(x)$ en la forma en que hacemos al decir de pares ordenados. Sin embargo, que a menudo es el caso de: torneado de definiciones recursivas en definiciones explícitas no puede ser posible.

Answer 3

Creo que la respuesta "correcta" es que la pregunta es errónea, pero voy a intentar dar muchas respuestas alternativas por si alguna te hace más feliz.

En la teoría de conjuntos ZFC, tal y como se suele plantear, no hay términos en absoluto en el sentido de la lógica, aparte de las variables (es decir, no hay símbolos de función en la firma lógica). Sólo hay axiomas que afirman que existen conjuntos que satisfacen ciertas propiedades (y son únicos). Por ejemplo, cualquier expresión que incluya $\bigcup x$ es la abreviatura de una afirmación sobre un conjunto cualquiera (por lo tanto, único) que contiene exactamente los $y$ tal que $y\in z\in x$ para algunos $z$ . Eso es incluso cierto sobre el símbolo del conjunto vacío $\emptyset$ ¡! Así que cualquier declaración sobre " $TC(x)$ " también tendrá que ser formalmente una afirmación sobre cualquier conjunto (por lo tanto único) que sea un cierre transitivo de $x$ .

Se podría intentar convertir todos los axiomas de ZFC en operadores de formación de términos, de modo que en lugar de decir "existe un conjunto sin elementos", habría un término especificado $\emptyset$ y un axioma que dice " $\emptyset$ no tiene elementos", y lo mismo para los emparejamientos, las uniones, el reemplazo, etc. (Por supuesto, el operador de reemplazo tendrá que tomar una fórmula de primer orden como entrada, así como un conjunto). En ese caso, debería poder aplicar el "operador de sustitución" seguido del "operador de unión" para construir un término que describa $x \cup \bigcup x \cup \bigcup\bigcup x \cup \dots$ .

Alternativamente, se puede añadir un operador de elección tal que para cualquier fórmula $\phi$ El término $\varepsilon x. \phi(x)$ tiene la propiedad de que si existe un $x$ con $\phi(x)$ Entonces, de hecho $\phi(\varepsilon x.\phi(x))$ . A continuación, puede definir $TC(x) = \varepsilon y. ISTC(y,x)$ . En este caso, se podría incluso restringir a un operador de elección única que sólo se aplica a las fórmulas $\phi$ tal que hay como máximo una $x$ Satisfaciendo a $\phi(x)$ .

También podemos escribir $TC(x)$ en la "notación de construcción de conjuntos" del estudiante:.

$$ TC(x) = \Big\lbrace y \;\Big\vert\; (\forall z)\; \Big( (\forall a,b)\; a\in b \wedge b\in z \Rightarrow a\in z\Big) \wedge x \subseteq z \Longrightarrow y\in z \Big\rbrace $$

pero, por supuesto, ZFC no incluye la notación general de construcción de conjuntos como una operación de formación de términos, ni puede extenderse para hacerlo, ya que no toda notación de construcción de conjuntos forma un conjunto (por ejemplo $\lbrace x \mid x\notin x\rbrace$ ).

Answer 4

(Disculpas a los administradores nuevamente por no haberse registrado aún).

Creo que el libro de Kunen sobre Independence Proofs in Set Theory tiene una representación de primer orden para TC (x) (closue transitivo, supongo). Algo así como forall x, y, z, x = TC (x) iff {(z en y) y (y en x) implica (z en x)}.

Estoy siendo descuidado con los cuantificadores, pero asumiendo la base, algo como lo anterior debería funcionar.

Gerhard "Pregúntame acerca del diseño del sistema" Paseman, 2010.01.19