Axioma de regularidad y filas ordinales

Question

Estoy tratando de demostrar que las dos sentencias siguientes son equivalentes:

1. Axioma de regularidad
2. $\forall x \exists \alpha (\alpha $ es un ordinal y $ x \in V_\alpha)$

Creo que entiendo cómo demostrar a $(1) \implies (2)$:

Por la regularidad, $x$ está bien ordenado por la inclusión, y puesto que cada conjunto ordenado es isomorfo a un ordinal, $\exists \beta$ tal que $(x, \in) \cong (\beta, \in)$. Ahora, $\alpha = \beta + 1$ es un ordinal. Es claro, entonces, que el $x \in V_\alpha$, ya que el $\beta < \alpha$.

Soy un completo aficionado, así, hágamelo saber si este razonamiento es totalmente incorrecta.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo conseguir algo en la otra dirección y se fue con la esperanza de que pudiera conseguir algunos comentarios aquí. Gracias.

Answer 1

Las pruebas que sugieren que está mal.

El axioma de regularidad no implica que todo conjunto bien ordenado por inclusión. Esto es falso en todos los aspectos posibles. El axioma de regularidad dice que $\in$ está bien fundada. Esto significa que cada conjunto no vacío $x$ $z\in x$ tal que $z\cap x=\varnothing$.

La prueba debe ser por $\in$-inducción, que podemos preformas desde $\in$ está bien fundada.

Supongamos que para todos los $y\in x$, hay algunos ordinal $\alpha$ tal que $y\in V_\alpha$. Deje $\alpha_y$ ser el menos ordinal, a continuación, $\{\alpha_y\mid y\in x\}$ es un conjunto de ordinales, por lo tanto hay algo de $\alpha$ más grande que todos estos números ordinales. De ello se desprende que $x\subseteq V_\alpha$, lo que significa que $x\in \mathcal P(V_\alpha)=V_{\alpha+1}$ como quería.

En la otra dirección, supongamos que todos los $x$ es un elemento de algunos $V_\alpha$. Deje $x$ no puede ser vacío, y considerar, para cada $y\in x$, $\alpha_y$ al menos ordinal tal que $y\in V_{\alpha_y}$. Ahora recoger algunas $z$ tal que $\alpha_z=\min\{\alpha_y\mid y\in x\}$. Y yo voy a dejar a usted para mostrar que $z\cap x=\varnothing$.

Answer 2

Puedo entender mejor la equivalencia de Enderton los Elementos de la Teoría de conjuntos. La siguiente es su prueba de que he escrito en mi editor de LaTeX (el uso de macros + \newcommands). Aunque este post es de un año, quiero compartir Enderton agradable de la prueba. Hay dos propiedades de rango que es importante en esta prueba:

• Para cada conjunto $X$, si cada elemento de a $X$ tiene un rango (o tierra), a continuación, $X$ está conectado a tierra.

• Para cada conjunto $X$ si $X$ está conectado a tierra, entonces para cada $x\in X$, $\mathrm{rank}(x)\in \mathrm{rank}(X)$.