¿Es todo difeomorfismo del n-toro isotópico a uno lineal?

Question

Es un hecho fácil que todo difeomorfismo de la $n$ -toro $\mathbb{T}^n$ es homotópico a un difeomorfismo lineal. Un teorema clásico de la topología de baja dimensión implica que si dos difeomorfismos de una superficie cerrada son homotópicos entonces son isotópicos. Esto implica que todo difeomorfismo de $\mathbb{T}^2$ es isotópico a uno lineal.

¿Este resultado es válido para $\mathbb{T}^n$ cuando $n > 2$ ?

Answer 1

Sí para $n=3$ . Esto se debe a Waldhausen, quien demostró que el grupo de clases de mapeo de un 3manifold orientado asférico cerrado de Haken se identifica con $\text{Out}(\pi_1)$ en este caso se trata de $GL_3 \Bbb Z$ . Hay una demostración del teorema de Waldhausen en el libro de Hempel sobre los 3-manifolds.

Abierto para $n=4$ . Los grupos de clases de mapeo de los 4 manifolds apenas se comprenden. Hay algunos trabajos de Danny Ruberman en el caso simplemente conectado que muestran que son extremadamente grandes, por lo que podría anticipar que las cosas van mal incluso para el 4-toro. Pero quién sabe.

Muy falso para $n>4$ .