$Alt(T)=0$ si $T$ es un tensor simétrico

Question

La cuestión es demostrar que $Alt(T)=0$ si $T$ es un tensor simétrico.

Tenemos $$Alt(T)=\sum_{\sigma}sgn(\sigma)T^{\sigma}$$ En $T$ es simétrico tenemos $T^{\sigma}=T$ para todos $\sigma$ . Por lo tanto, tenemos $$Alt(T)=\sum_{\sigma}sgn(\sigma)T=T\sum_{\sigma}sgn(\sigma)$$ Como el nº de permutaciones impar es igual al nº de permutaciones impar tenemos $\sum_{\sigma}sgn(\sigma)=0$ así, $Alt(G)=0$ .

Ahora, otra pregunta es, ¿se cumple lo contrario?

Supongamos que $Alt(T)=0$ ¿tenemos que $T$ ¿es un tensor simétrico?

Veo que esto es cierto para $2$ tensor. Supongamos que $T$ es un $2$ tensor entonces,

$0=Alt(T)=sgn(1)T+sgn(1~2)T=T-T^{\sigma}$ implica que $T=T^{\sigma}$ . Así, $T$ es un tensor simétrico.

Estoy seguro de que esto es cierto para todos $k$ tensores pero soy incapaz de demostrarlo.

¿Tengo que ir por contradicción o qué ... No soy capaz de adivinar algún camino..

Por favor, proporcione algunas pistas ..

Answer 1

Hay una buena caracterización de los tensores que $Alt(T)=0.$

Thm. Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (sin supuestos adicionales). Consideremos el subespacio $N^n(V)$ de $\otimes^nV$ generados por elementos $v_1\otimes\dots\otimes v_n$ tal que $v_i=v_j$ para al menos un par $i\neq j.$ Tenemos que $$\ker(Alt)=N^n(V).$$ Equivalentemente. Para cada $T\in\otimes^nV$ $$Alt(T)=0\iff T\in N^n(V).$$

Requiere algo de trabajo, pero se puede encontrar en Álgebra Multilineal de Greub.

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EDITAR Ejemplo explícito

Considerar el espacio $V=(\mathbb{R}^2)^*.$ Entonces $3-$ tensores en $V$ pueden tratarse como mapas multilineales $$T:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}.$$ Establecer $T$ por fórmula $$T((a,b),(c,d),(e,f))=ace+bde-acf-bdf.$$ Multilineal: fácil de verificar.

Simétrico: Nope $$T((1,1),(1,1),(1,0))=2\neq 0=T((1,0),(1,1),(1,1))$$

$Alt(T)=0.$ Sí. Mira primero que $$T((a,b),(c,d),(e,f))=T((c,d),(a,b),(e,f))$$ (esta es la idea principal, compárese con el thm. citado anteriormente). De hecho

$$T((a,b),(c,d),(e,f))=ace+bde-acf-bdf=cae+dbe-caf-dbf=T((c,d),(a,b),(e,f)).$$ Ahora $Atl(T)$ tiene $6$ elementos. Para permutar $\sigma=id$ corresponde $\gamma=(12),$ tal que $$T^\sigma=T^\gamma\hspace{5pt}\text{and}\hspace{5pt}sgn(\sigma)=-sgn(\gamma).$$ De forma similar a $\sigma=(13)$ tienes $\gamma=(123)$ y a $\sigma=(23)$ tienes $\gamma=(132).$ Por lo tanto, la suma total $Alt(T)$ se anula.