Integral de Riemann generalizada: ¿No es un ejemplo limitado?

Question

Referencia

Para un teorema de convergencia de la integral, véase: Integral de Riemann: Convergencia uniforme

Para una versión impropia de la integral ver: Integral de Riemann: Versión impropia

Para comparar las integrales, véase: Integral Uniforme vs. Integral de Riemann

Definición

Dado un espacio de medidas finito $\mu(\Omega)<\infty$ y un espacio de Banach $E$ .

Considere las funciones $F:\Omega\to E$ .

Definir la integral de Riemann generalizada por: $$\int F\mathrm{d}\mu:=\lim_\mathcal{P}\{\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}F(a)\mu(A)\}_\mathcal{P}$$ sobre particiones medibles finitas: $$\mathcal{P}\subseteq\Sigma:\quad\Omega=\bigsqcup_{A\in\mathcal{P}}A\quad(\#\mathcal{P}<\infty)$$ ordenados por el refinamiento: $$\mathcal{P}\leq\mathcal{P}':\iff\forall A'\in\mathcal{P}'\exists A\in\mathcal{P}:\quad A\supseteq A'$$ (De hecho, las etiquetas están simplemente suprimidas).

Debate

¿Qué aspecto tienen las funciones no integrables? $$F:\Omega\to E:\quad F\notin\mathcal{L}_\mathfrak{R}(\mu)$$ Obviamente, los ejemplos no medibles son innumerables: $$\mu^*(V)\neq\mu_*(V):\quad F=\chi_V$$ Además, la acotación a.e. es una condición necesaria para la integrabilidad: $$F\notin\mathcal{L}^\infty(\mu)\implies F\notin\mathcal{L}_\mathfrak{R}(\mu)$$ Entonces, ¿hay ejemplos no medibles limitados?
(Nótese que la continuidad no es un concepto accesible aquí).

Además, ejemplos patológicos como la función Dirichlet se vuelven integrables.

Consecuencia profunda

La integrabilidad de Riemann no está garantizada sólo por la integrabilidad absoluta: $$\int\|F\|\mathrm{d}\mu<\infty\nRightarrow \int F\mathrm{d}\mu\in E$$ Pero esto no debería ser una gran sorpresa, ya que tampoco era el caso de la integrabilidad de Bochner.

Answer 1

Ok, creo que ahora lo tengo...

Tomemos una ligera variación del famoso ejemplo: $$F:[0,1]\to\ell[0,1]:t\mapsto\chi_t$$

Al menos, está acotado: $\|F(t)\|\equiv1$ .

Especialmente, es absolutamente integrable: $\int\|F(t)\|\mathrm{d}t=1$

Sin embargo, no es medible como: $$\|\chi_s-\chi_t\|^2=2\quad(s\neq t)$$ por lo que tomar un conjunto Vitali rinde: $$U:=\bigcup_{v\in V}B_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\chi_v):\quad U\in\mathcal{T}[0,1],F^{-1}U=V\notin\mathcal{B}[0,1]\quad\left(V\subseteq[0,1]\right)$$

Además, tiene un alcance no separable: $$\|\chi_s-\chi_t\|\equiv2\quad(s\neq t)$$ Así que no puede ser límite puntual en ningún caso: $S_n\nrightarrow F$

Por último, no es integrable de Riemann como: $$\|\sum_{A\in\mathcal{P}}F(a)\mu(A)-\sum_{A\in\mathcal{P}}F(a')\mu(A)\|=\sum_{A\in\mathcal{P}}\|\chi_a-\chi_{a'}\|\mu(A)=2\sum_{A\in\mathcal{P}}\mu(A)\equiv2\mu(\Omega)\quad(a\neq a')$$