Estoy viendo esta desigualdad particular para una matriz de números reales $\{ x_{ij} \}$ ,
$$\sum_i \vert \prod_{j=1}^k x_{ij} \vert \leq \prod_{j=1}^k ( \sum_i \vert x_{ij}\vert ^k)^{\frac{1}{k}}$$
¡Me gustaría saber la prueba de esto!
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kobe
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Prueba por inducción en $k$ . Cuando $k = 1$ la desigualdad anterior es una igualdad. Supongamos ahora que $k > 1$ y el resultado es válido para todos los enteros positivos menores que $k$ . Por la desigualdad de Hölder (con exponentes conjugados $k$ y $k/(k-1)$ ),
$$\sum_{i} \left\lvert \prod_{j = 1}^k x_{ij}\right\rvert = \sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert \lvert x_{ik}\rvert \le \left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k}\left(\sum_i \lvert x_{ik}\rvert^k\right)^{1/k}.$$
Ahora
$$\left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k} = \left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}^{k/(k-1)}\right\rvert\right)^{(k-1)/k} \le \prod_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij}^{k/(k-1)}\rvert^{k-1}\right)^{1/k},$$
utilizando la hipótesis de inducción en el último paso. Así,
$$\left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k} \le \sum_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij} \rvert^k\right)^{1/k},$$
y en consecuencia
$$\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^k x_{ij}\right\rvert \le \prod_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij}\rvert^k\right)^{1/k} \left(\sum_i \lvert x_{ik}\rvert^k\right)^{1/k} = \prod_{j = 1}^k \left(\sum_i \lvert x_{ij}\rvert^k\right)^{1/k},$$
como se desee.
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Es una generalización bien conocida de la desigualdad de Holder (demostrable por inducción directa) que $$\left|\left|\prod_{j=1}^k f_j\right|\right|_r \leq \prod_{j=1}^k\left|\left|f_j\right|\right|_{p_j},$$ donde $$\sum_{j=1}^k\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r},$$ para $r \in (0,\infty), p_1,\ldots,p_k \in (0,\infty],$ y $f_j \in L^{p_j}$ . En su caso, tome $r =1$ y $p_j = k$ .
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He pensado si tal cosa es cierta pero no he podido dar sentido a este LHS, $\prod_j f_j$ . Si $f_j \in L^{p_j}$ entonces $f_j$ es un vector. Entonces, ¿qué significa este LHS?
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El $f$ se consideran más apropiadamente como funciones vectoriales que toman valores en el $n$ -reales de dimensión. A continuación, se puede pensar en una generalización (a los reales arbitrarios $k$ ) de la versión de la medida del producto de la desigualdad de Holder con la medida de recuento. En esencia, esto equivale a tratar el producto como un producto de Hadamard si se piensa en el $f$ como si fueran vectores.
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Esto y mucho más se recoge en las desigualdades de Brescamp-Lieb es.wikipedia.org/wiki/Brascamp%E2%80%93Lieb_inequality