¿Es una especie de desigualdad de Holder?

Question

Estoy viendo esta desigualdad particular para una matriz de números reales $\{ x_{ij} \}$ ,

$$\sum_i \vert \prod_{j=1}^k x_{ij} \vert \leq \prod_{j=1}^k ( \sum_i \vert x_{ij}\vert ^k)^{\frac{1}{k}}$$

¡Me gustaría saber la prueba de esto!

Answer 1

Prueba por inducción en $k$ . Cuando $k = 1$ la desigualdad anterior es una igualdad. Supongamos ahora que $k > 1$ y el resultado es válido para todos los enteros positivos menores que $k$ . Por la desigualdad de Hölder (con exponentes conjugados $k$ y $k/(k-1)$ ),

$$\sum_{i} \left\lvert \prod_{j = 1}^k x_{ij}\right\rvert = \sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert \lvert x_{ik}\rvert \le \left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k}\left(\sum_i \lvert x_{ik}\rvert^k\right)^{1/k}.$$

Ahora

$$\left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k} = \left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}^{k/(k-1)}\right\rvert\right)^{(k-1)/k} \le \prod_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij}^{k/(k-1)}\rvert^{k-1}\right)^{1/k},$$

utilizando la hipótesis de inducción en el último paso. Así,

$$\left(\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^{k-1} x_{ij}\right\rvert^{k/(k-1)}\right)^{(k-1)/k} \le \sum_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij} \rvert^k\right)^{1/k},$$

y en consecuencia

$$\sum_i \left\lvert \prod_{j = 1}^k x_{ij}\right\rvert \le \prod_{j = 1}^{k-1} \left(\sum_i \lvert x_{ij}\rvert^k\right)^{1/k} \left(\sum_i \lvert x_{ik}\rvert^k\right)^{1/k} = \prod_{j = 1}^k \left(\sum_i \lvert x_{ij}\rvert^k\right)^{1/k},$$

como se desee.