Encontrar $g(x)$ si $f(x) = 2x + 1$ y $g(f(x)) = 4x^2 + 4x + 3$.

Question

Tengo esta pregunta para mis tareas de Matemáticas Integradas 3+ (IB sistema).

Si $f(x) = 2x + 1$$g(f(x)) = 4x^2 + 4x + 3$, encontramos a $g(x)$?

Entiendo cómo funciona esto, mientras que $f(x)$ está siendo introducido en $g(x)$. También puedo solucionar esto simplemente mirando y haciendo en mi cabeza: la respuesta es

$x^2 + 2$

Sin embargo, ¿cuál sería la ecuación completa y el método de solución utilizadas para encontrar esta respuesta? Estoy ansioso por saber porque supongo mucho más difícil pregunta aparecerá en la prueba, por lo que necesito saber la forma adecuada de resolver si no puedo hacerlo en mi cabeza.

Answer 1

Aquí es un enfoque sistemático: nota que podemos calcular la inversa $f^{-1}$ de la función $f(x)$ dado. Si enchufa $f^{-1}(x)$ $g(f(x))$, tenemos $$ g(f([f^{-1}(x)]) = g([f(f^{-1}(x))]) = g (x) $$ en este caso, $f(x) = 2x+1$. Resolución de $y = 2x+1$ $x$ $x = f^{-1}(y) = (y-1)/2$ los rendimientos. Así, $f^{-1}(x) = (x-1)/2$.

Ahora calculamos $$ g(f(f^{-1}(x))) = 4 [(x-1)/2] ^ 2 + 4 [(x-1)/2] + 3 = \cdots = x ^ 2 + 2 $$