Desigualdad de determinantes y matriz definida positiva

Question

Dejemos que $B$ y $C$ sea $n \times n$ Matrices hermitianas, con $B$ definida positiva y $C$ semidefinido positivo.

1. Demostrar que $B+C$ es positiva definida

2. Demostrar que $\det(B) \leq \det(B+C)$ . ¿Cuál es el caso de la igualdad?

3. Demostrar que $B^{-1}-(B+C)^{-1}$ es semidefinido positivo.

He demostrado (1). Y para (2), traté de usar la descomposición de Cholesky, pero no gana nada.

¿Algún consejo o idea? Gracias.

Answer 1

Pistas para 2 : porque $B$ es positiva definida, se puede escribir $$ B+C=B^{1/2}(I+B^{-1/2}CB^{-1/2})B^{1/2}\implies\det(B+C)=\det(B)\det(I+B^{-1/2}CB^{-1/2}). $$ Ahora argumenta que los valores propios de $I+B^{-1/2}CB^{-1/2}$ no son menos que $1$ . ¿Qué se puede decir entonces del producto de esos valores propios?

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Pistas para el 3 : Vamos a probar un problema más general.

(a) Primero demuestre que si $A$ es psd, entonces $I-A$ es psd implica $A^{-1}-I$ es psd.

Prueba : $$ v'(A^{-1}-I)v=(A^{-1/2}v)'(I-A)(A^{-1/2}v)\geq0.\quad\square $$

(b) Supongamos que $X$ y $Y$ son positivas definidas y $X-Y$ es psd. Afirmamos que $Y^{-1}-X^{-1}$ es psd.

Prueba : Utiliza (a) junto con la siguiente observación: $$ 0\preceq X-Y=X^{1/2}(I-X^{-1/2}YX^{-1/2})X^{1/2}\implies 0\preceq I-X^{-1/2}YX^{-1/2}.\quad\square $$

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¿Puede encontrar el $X$ y $Y$ para su problema?

Answer 2

Permítanme dar una prueba utilizando la teoría de la forma canónica de las matrices hermitianas. Para simplificar, dejemos que $A^*$ denotan la transposición conjugada de $A$ es decir, $A^* = \bar{A}^T$ .

Desde $B$ es hermético y $B > 0$ existe una matriz no singular $P$ tal que $B = P^*P$ (por ejemplo, $P$ puede tomarse como la raíz cuadrada de $B$ ). Ahora, observe que la matriz $(P^*)^{-1}CP^{-1}$ es hermética, por lo que existe una matriz unitaria $U$ tal que $$(P^*)^{-1}CP^{-1} = U\text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)U^*.$$

Desde $C \geq 0$ la expresión anterior implica $\mu_i \geq 0, i = 1, \ldots, n$ . Sea $Q \equiv P^*U$ entonces $Q$ es no singular, y \begin {align*} & B = QQ^*, \\ & C = Q \text {diag}( \mu_1 , \ldots , \mu_n )Q^*. \tag {*} \end {align*} Por lo tanto $B + C = Q\text{diag}(1 + \mu_1, \ldots, 1 + \mu_n)Q^*$ Por lo tanto, $$\det(B + C) = \det(QQ^*)\prod_{i = 1}^n(1 + \mu_i) = \det(B)\prod_{i = 1}^n(1 + \mu_i) \geq \det(B).$$

Como $\mu_i \geq 0, i = 1, \ldots, n$ la igualdad anterior se cumple si y sólo si $\mu_1 = \cdots = \mu_n = 0$ es decir, cuando $C$ es una matriz cero.

Utilizando la representación $(*)$ se puede ver fácilmente que $$B^{-1} - (B + C)^{-1} = (Q^*)^{-1}\text{diag}\left(\frac{\mu_1}{1 + \mu_1}, \ldots, \frac{\mu_n}{1 + \mu_n}\right)Q^{-1} \geq 0,$$ donde de nuevo utilizamos la condición $\mu_i \geq 0, i = 1, \ldots, n$ .