La naturaleza de cociente espacios

Question

Ahí está el ejemplo siguiente de Introducción a la Topológico de Colectores por John Lee, la esfera de $\mathbb{S}^2$ es homeomórficos para el disco cerrado $\bar{\mathbb{B}}^2 \subseteq \mathbb{R}^2$ modulo de la relación de equivalencia generada por $(x, y) \sim (-x, y) \in \partial \bar{\mathbb{B}}^2$. (La afirmación es, pues,$\mathbb{S}^2 \cong \mathbb{\bar{B}}^2/ {\sim}$)

Ahora mi intuición no me ha fallado aquí, porque el Toro, $\mathbb{T}^2$, el cual es utilizado como el prototipo de ejemplo para demostrar el poder y la simplicidad de cociente espacios, donde "pegar" los extremos de un cuadrado para formar primero un cilindro, y, finalmente, un toro sentido. Que "pegar" la intuición no funcionó para mí en este caso, si nada por que el argumento del cociente espacio que acabaría con la anterior sería un semi-círculo sentados en $\mathbb{R}^2$.

Pero para probar esta afirmación el libro explícitamente construye un cociente mapa de $f : \mathbb{\bar{B}}^2 \to \mathbb{S}^2$ donde $f$ es un lugar que participan de la función, y desde $f$ hace que el mismo identitifcations, a saber, que en el límite de la disco nos ha $f(x, y) = f(-x, y)$, y por la unicidad del cociente espacio podemos demostrar nuestra afirmación.

Parece que la mayoría de los espacios cociente que he encontrado son de esta naturaleza. Que es para cualquier espacio cociente $X /{\sim}$ no es un cociente mapa decir $f$ (que es la no canónica de la asignación de $q : X \to X / {\sim}$ definido por $q(x) = [x]$, el envío de un elemento a su clase de equivalencia), lo que hace que el mismo identificaciones como la relación de equivalencia. Tenemos entonces apelar a la unicidad del cociente de los espacios, y debido a $f$ hace que el mismo identificaciones como $q$,$f[X] = X /{\sim}$. Pero desde $X / {\sim}$ es más fácil de estado y de trabajar con nosotros utilizar en su lugar.

Estoy en lo cierto en esta observación? Son todos cociente de los espacios de esta naturaleza?

Si es así, ¿qué podemos hacer en el caso de la botella de Klein, $K$, obtenido mediante la identificación de los bordes de la plaza de la $I \times I$ según $(0, t) \sim (1, t)$ $(t, 0) \sim (1-t, 1)$ $t \in [0, 1]$. $K$ es sin duda un cociente de espacio, pero aparentemente no de la naturaleza de los ejemplos anteriores, principalmente porque no sé un cociente mapa de $f$ (como arriba), que hace que el mismo identificaciones como $\sim$.

Lo que me impide simplemente la definición de $K$ (o cualquier cociente de un espacio como $\mathbb{S}^2$ anterior) como el cociente del espacio generado por la relación en lugar de tener que hacer los laboriosos cálculos para encontrar un cociente mapa de $f$ que hace el mismo identificaciones como la relación?

Answer 1

Para el $S^2 \cong D^2/\partial D^2$, se puede comenzar por señalar que $D^1/\partial D^1 \cong S^1$, que es más fácil de ver: se toma un alambre y pegamento a los bordes juntos. Las dimensiones superiores analógica funciona de la misma manera, pero se toma el límite completo y llevarlo a un punto, como una especie de mochila.

En cuanto a tu pregunta acerca de estos "laborioso mapas," creo que hay un malentendido fundamental sobre el cociente del espacio. Primero se debe pensar en ella como una relación de equivalencia en un conjunto, $(X, \sim)$, y un canónica mapa de $x \mapsto [x]$, que envía un elemento a su equivalente de la clase. Este mapa puede ser siempre de un conjunto definido teóricamente. El Cociente del espacio es un espacio de $X/{\sim}$ junto con un mapa de $\phi:X \to X/{\sim}$ que es continua. Para hacerla continua, se dotan $X/{\sim}$ con el más áspero de la topología que se lleva a cabo este objetivo. Por lo tanto, uno debe pensar en él como un espacio topológico y un mapa que hace que todo esto suceda.

La propiedad de "más tosca" se puede resumir diciendo que cada vez que tenga un mapa de $f:X \to Y$, de modo que $x \sim y \implies f(x)=f(y)$, no existe un mapa $$\tilde{f}: X/{\sim} \longrightarrow Y$$ so that $\tilde{f} \circ \phi=f$.

La construcción de una "laboriosa mapa" generalmente implica encontrar algunos $f:X \to Y$, de modo que $\tilde{f}$ es un homeomorphism, lo que demostraría que el cociente es homeomórficos a $Y$, o que algunos topológica del espacio puede ser identificado con un cociente de $X$.

He aquí un ejemplo: $D^1/\partial D^1 \cong S^1$

Considerar la surjective mapa de $f: [0,2\pi] \to S^1$$x \mapsto e^{ix}$. Claramente, la identificación de $x \sim y \iff x,y \in \partial S^1$ implica que el $f(x)=f(y)$, lo $f$ factores mediante el cociente del espacio, la inducción de la $\tilde{f}$. Sin embargo, este es el único lugar donde $f$ fue noninjective, por lo que la inducida por el mapa es inyectiva. Sin embargo, $\tilde{f}$ ahora es un continuo bijection cuyo dominio es compacto y codominio Hausdorff, y por lo tanto es una homeomorphism.