cuando es el cokernel de un mapa de la libre módulos de forma gratuita?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo (noetherian si es necesario) y $n,m$ ser de dos números enteros no negativos. Considere la posibilidad de un mapa

$\varphi: R^n\rightarrow R^m$

Hay una caracterización, por ejemplo, en términos de la representación de la matriz de $\varphi$ de la cokernel de este mapa está libre?

comentario: esta pregunta parece ser bastante similar y me acabo de enterar de que hay un criterio para cuando el módulo es proyectiva, en términos de los menores de la matriz que representa a $\varphi$. Así que tal vez esta pregunta es fuerte como se plantea, básicamente, a classifiy la libre módulos entre los projectives, pero hay al menos una suficiente criterio en niza situaciones?

Answer 1

Usted necesita TODOS los $(k+1)\times (k+1)$ menores para algunos $k$ a ser el cero y el uno $k\times k$ menor a ser una unidad.