Me interesé en este anidada radical desde otra pregunta y pensé que iba a tener un ir en su intento de encontrar una fórmula para ello. Es $$G(0)=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\cdots}}}}.$$ This can be written as a recurrence relation when evaluated at $x=0$: $$G(x)^2=2^x+G(x+1).$$ Due to Ramanujan, we know that for some function $F(x)$ such that $$F(x)^2=ax+(a+n)^2+xF(x+n)$$ we have $$F(x)=a+n+x.$$ We can put $G(x)$ and $F(x)$ into equatable forms by making $x=1, n=1, a=\frac{\sqrt{13}-3}{2}.$ Summing these and correcting for $G(0)$ we should have $$G(0)=\sqrt{1+\frac{\sqrt{13}-3}{2}+1+1}=\sqrt{\frac{\sqrt{13}+3}{2}}.$$ this gives $1.817354021023971.$ However the correct value for $G(0)$ is around $1.78316580926410.$ ¿Cuál es el error en mi razonamiento?
Respuesta
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Su error fue asumir que $F(x)$ $G(x)$ son los mismos para cualquier $x$ simplemente porque son los mismos para $x=1$:
$$G(1)=\sqrt{2^1+F(1+1)}=\sqrt{2+F(2)} \\ F(1)=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)(1)+\left(\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)+1\right)^2+(1)F(1+1)}=\sqrt{2+F(2)}$$
Pero mira $x=2$: $$G(2)=\sqrt{2^2+F(2+1)}=\sqrt{4+F(3)} \\ F(2)=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)(2)+\left(\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)+1\right)^2+(2)F(2+1)} \approx \sqrt{2.3028+2F(3)}$$
Así que si usted reemplace $G(x+1)$ $F(x+1)$ en la definición de la $G$ (como se hizo para resolver), a continuación, $G(0)$ realmente se ve como este cuando se expande: $$G(0)=\sqrt{\frac{\sqrt{13}+3}{2}} \approx\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{2.3028+2\sqrt{2.6055+\dots}}}}$$
